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第一章有理数

知识要点

本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。

1.有理数

(1)凡能写成形式的数，都是有理数， 和 统称有理数.

注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数， a也不一定是正数； （是不是）有理数；

(2)有理数的分类: ① ②

(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；

(4)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数；

a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数.

2．数轴

数轴是规定了 （数轴的三要素）的一条直线.

3．相反数

(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；

(2)注意： a-b c的相反数是 ；a-b的相反数是 ；a b的相反数是 ；

(3)相反数的和为 a b=0 a、b互为相反数.

(4)相反数的商为 .

（5）相反数的绝对值相等w w w .x k b 1.c o m

4.绝对值

(1)正数的绝对值等于它 ，0的绝对值是 ，负数的绝对值等于 ；

注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

(2) 绝对值可表示为： 或 ；

(3) |a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性；

5.有理数比大小

（1）正数永远比0大，负数永远比0小；

（2）正数大于一切负数；

（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；

（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（5）-1，-2， 1， 4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。

6.倒数

乘积为1的两个数互为倒数；

注意： 没有倒数； 若ab=1 a、b互为 ； 若ab=-1 a、b互为 .

等于本身的数汇总：

相反数等于本身的数：

倒数等于本身的数：

绝对值等于本身的数：

平方等于本身的数：

立方等于本身的数：

7. 有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

8．有理数加法的运算律

（1）加法的交换律：a b=b a ；（2）加法的结合律：（a b） c=a （b c）.

9．有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a （-b）.

10. 有理数乘法法则

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（2）任何数与零相乘都得零；

（3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。

11. 有理数乘法的运算律

（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b c）=ab ac .（简便运算）

12．有理数除法法则

除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.

13．有理数乘方的法则

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；

14．乘方的定义

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2 |b|=0 a=0,b=0；

（4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

（5）据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.

15．科学记数法

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数 1

16.近似数的精确位

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位.

17.混合运算法则

先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。

18.特殊值法

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.常用于填空，选择。

第一章、 基础训练

选择题

1、下列运算中正确的是（ ）.

　A. |-2|=－2 B. -32=-27 C. |（3-π）|=－π－3 D. 32=-9

2、下列各判断句中错误的是（ ）

A.数轴上原点的位置可以任意选定

B.数轴上与原点的距离等于个单位的点有两个

C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示

D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表示有理数的点。

3、、是有理数，若＞且，下列说法正确的是（ ）

A.一定是正数 B.一定是负数

C.一定是正数 D.一定是负数

4、两数相加，如果比每个加数都小，那么这两个数是（ ）

A.同为正数 B.同为负数 C.一个正数，一个负数 D.0和一个负数

5、两个非零有理数的和为零，则它们的商是（）

A.0 B.-1 C. 1 D.不能确定

6、一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ）

A.1 B.-1 C. ±1 D. ±1和0

7、如果|a|=-a，下列成立的是（ ）

A.a>0 B.a<0 C.a>0或a=0 D.a<0或a=0

8、（-2）11 （-2）10的值是（ ）

A.-2 B.（-2）21 C.0 D.-210

9、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ）

A.3瓶 B. 4瓶 C. 5瓶 D. 6瓶

10、在下列说法中，正确的个数是（ ）

⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示

⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数

⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数

⑷每个有理数都有相反数

A、1 B、2 C、3 D、4

11、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（ ）

A、正数 B、负数

C、整数 D、不等于零的有理数

12、下列说法正确的是（ ）

A、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；

B、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；

C、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；

D、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；

13、如果零上３℃记作＋３℃，那么零下３℃记作（ ）

Ａ、—３ Ｂ、－６ Ｃ、－３℃ Ｄ、－６℃

14、若ａ与２互为相反数，则∣ａ＋２∣等于（ ）

Ａ、０ Ｂ、－２ Ｃ、２ Ｄ、４