想要了解两条平行线必相交，我们要从欧几里得几何说起，欧几里得几何简称“欧氏几何”，是几何学的一门分科。数学上，欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。我们从小学到高中学的都是欧氏几何。

欧氏几何源于公元前3世纪。古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”。

欧式几何有五条公理（公设）：

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延长成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：

通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

在这五条公设中，前四条是简单明了，第五条就显得啰嗦了不少，结论也没那么显然易见，这就是几何史上著名的“平行线理论”，这一争议持续了很久，长达两千多年，从古希腊时代到公元1800年间，许多数学家都尝试用欧几里得几何中的其他公理来证明欧几里得的平行公理，但是结果都归于失败。19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波尔约等人各自独立地认识到这种证明是不可能的。也就是说，平行公理是独立于其他公理的，并且可以用不同的“平行公理”来替代它。高斯关于非欧几何的信件和笔记在他生前一直没有公开发表，只是在他1855年去世后出版时才引起人们的注意 。罗巴切夫斯基和波尔约分别在1830年前后发表了他们关于非欧几何的理论。在这种几何里，罗巴切夫斯基平行公理替代了欧几里得平行公理，即在一个平面上，过已知直线外一点至少有两条直线与该直线不相交。由此可演绎出一系列全无矛盾的结论，并且可以得出三角形的内角和小于两直角。罗氏几何中有许多不同于欧氏几何的定理。

继罗氏几何后，德国数学家黎曼在1854年又提出了既不是欧氏几何也不是罗氏几何的新的非欧几何。这种几何采用如下公理替代欧几里得平行公理：同一平面上的任何两直线一定相交。同时，还对欧氏几何的其他公理做了部分改动。在这种几何里，三角形的内角和大于两直角。人们把这种几何称为椭圆几何。

直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米在他出版的《非欧几何解释的尝试》中，证明了非欧平面几何可以局部地在欧氏空间中实现 。1871年，德国数学家克莱因认识到从射影几何中可以推导度量几何，并建立了非欧几何模型。这样，非欧几何的相容性问题就归结为欧氏几何的相容性问题，由此非欧几何得到了普遍的承认。

我们现在讲的非欧几何，通常意义下指的是罗氏几何和黎曼几何这两种。狭义意义下，非欧几何即罗氏几何。如果按几何特性（曲率）可以概括如下：

• 坚持第五公设，引出欧几里得几何。（当曲率为0时）
• 以“可以引最少两条平行线”为新公设，引出罗氏几何（或称双曲面几何）。（曲率为负常数）
• 以“一条平行线也不能引”为新公设，引出黎曼几何（或称椭圆几何）。（当曲率为正常数）

也怨不得大家不承认非欧几何，相较于中规中矩的欧式几何，非欧几何要显得诡异的多。

比如欧式几何中，同一直线的垂线和斜线是相交的，想想显然成立，然而罗氏几何却说同一直线的垂线和斜线不一定相交。欧式几何说“垂直于同一直线的两条直线平行”也是显然可见，然而罗氏几个却唱反调“垂直于同一直线的两条直线，两端无限延长，离散到无穷会相交”，相同的例子还有很多很多。

那么，该怎么去理解非欧几何中这些匪夷所思的说法呢？其实，欧式几何、非欧几何在几何学里的地位类似于牛顿的经典力学和相对论在物理中的地位，成立所需的约束条件是不同的。深究起来，两者的联系不仅是类似，经典力学中的绝对时空观正好对应了欧式几何学的平整不变空间，非欧几何中的空间则是相对变化的，平整空间变成弯曲的，这就正好对应着爱因斯坦所提出的引力扭曲空间的论断。

非欧几何和相对论极好的贴合，让爱因斯坦欣喜，1915年，他引用黎曼几何来描述他的广义相对论空间，获得巨大成功，他还证明了非欧空间是物质运动的一种存在形式。历史终究是公平的，非欧几何最终还是得到的应有的重视。

其实，想要理解非欧几何，可以用个简单的地球仪模型，找到0度和随意一根经线，再找到一根纬线，三线维出的三角形，内角和一定大于180度吧？

至于平行线必相交，也很好理解：地球上赤道处的经度线，在赤道处是平行的，在两极却是相交的。