例如，在一个以（3,5,1）为配置的风车中，中央正方形边长为3，这比表示29所需的最大正方形小。因此，我们将其改变为边长为5的正方形，得到新的风车配置（5,1,1）。在这个转换过程中，虽然中央正方形的大小改变了，但整个风车的面积仍保持为29，因此它依然代表同一个数。这个过程引出了一个问题：如果初始的中央正方形已经是最大的，那么Zagier映射应该如何应用？这个问题指向了在这种特殊情况下，我们可能需要采用不同的Zagier映射策略。
在Zagier映射的应用中，我们现在遇到了一个与之前相反的目标：我们要通过调整风车中矩形的延伸部分来使中心的正方形尽可能地小。
实际上，这个过程是先前扩大中央正方形过程的反向操作。因此，这种操作本质上是一个对合，即一个操作和它的逆操作是相同的。在数学上，将这种对合形式化只是涉及不同情况的分类问题。而在这里讨论的Zagier映射，实际上就是之前提到的那个简单证明中所包含的更广泛的映射概念。这意味着Zagier映射不仅包括了扩大中央正方形的操作，也包括了使中央正方形变小的逆操作，两者共同构成了这个复杂映射的完整形态。
最重要的情况是当x=y。如果x=y，那么就没有臂部可以延伸，所以这个风车成为了Zagier映射的一个固定点。
4.最终的证明
在探索Zagier映射时，我们首先关注其在特定条件下出现的固定点，这种情况发生在x和y的值相等时。回顾之前对风车的讨论，尤其是涉及到形式为4k 1的质数时，我们发现(1,1,k)的风车结构总是适用的，其中x和y的值均为1。
这意味着在处理这类质数时，Zagier映射在风车结构中实际上只有一个唯一的固定点，即当x=y时的情况。因此，对于形式为4k 1的质数，Zagier映射的固定点是明确且唯一的，这个固定点就是风车结构(1,1,k)，在这里x和y的值都是1。
