今天我们来讨论一下自然数平方和公式：

1^2 2^2 3^2 … n^2=？

如果只是证明这个公式，问题就很简单，我们直接利用数学归纳法即可证明。

求证：1^2 2^2 3^2 … n^2

=n(n 1)(2n 1)/6

证明：方法一（数学归纳法）

1.当n=1时

左边=1^2=1

右边=1×(1 1)×(2×1 1)/6

=1×2×3/6=6/6=1

左边=右边，等式成立

2.假设当n=k时，等式也成立

1^2 2^2 3^2 … k^2

=k(k 1)(2k 1)/6

3.当n=k 1时

左边=1^2 2^2 … k^2 (k 1)^2

=(1^2 2^2 3^2 … k^2) (k 1)^2

=k(k 1)(2k 1)/6 (k 1)^2

=[k(k 1)(2k 1) 6(k 1)^2]/6

=(k 1)[k(2k 1) 6(k 1)]/6

=(k 1)(2k^2 k 6k 6)/6

=(k 1)(2k^2 7k 6)/6

=(k 1)(k 2)(2k 3)/6

右边=(k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1]/6

=(k 1)(k 2)(2k 3)/6

左边=右边，等式依然成立

所以，对所有n∈N*，都有

1^2 2^2 3^2 … n^2

=n(n 1)(2n 1)/6，证毕！

但是，如果我们并不知道这个结论，而是来推出这个公式，问题的难度就大多了。

我们首先回顾一下完全立方公式：

(a b)^3=a^3 3a^2b 3ab^2 b^3

求：1^2 2^2 3^2 … n^2=?

解：方法二（传统经典求法）

令Sn=1^2 2^2 3^2 … n^2

(1 n)^3=1 3n 3n^2 n^3

2^3=(1 1)^3=1 3×1 3×1^2 1^3

3^3=(1 2)^3=1 3×2 3×2^2 2^3

4^3=(1 3)^3=1 3×3 3×3^2 3^3

…………

(1 n)^3=1 3n 3n^2 n^3

将以上等式的左右两边相加：

2^3 3^3 … n^3 (n 1)^3=

n 3(1 … n) 3(1^2 … n^2)

(1^3 2^3 … n^3)

(n 1)^3=n 3n(n 1)/2 3Sn 1

3Sn=(n 1)^3-n-3n(n 1)/2-1

=[2(n 1)^3-2(n 1)-3n(n 1)]/2

=(n 1)[2(n 1)^2-2-3n]/2

=(n 1)(2n^2 n)/2

=n(n 1)(2n 1)/2

3Sn=n(n 1)(2n 1)/2

Sn=1^2 2^2 3^2 … n^2

=n(n 1)(2n 1)/6