已知x y z=3，x² y² z²=3。求x²⁰²⁰ y²⁰²¹ z²⁰²²值
题目分析思路一：已知条件中含有一次方程和二次方程，可以联想到配方的方法。
思路二：已知条件中含有平方的形式并且两个等式的值都是3。
所以可以尝试用柯西不等式，并考虑不等式取等号时的条件。
思路三：数形结合，考虑几何意义。已知条件中的一次方程代表空间中的一个平面，
二次方程代表空间中的一个球面。所以可以结合空间解析几何的方法进行求解。
下面分别介绍三种方法。[微笑]
解法一（配方法）
因为，所以
有
即
得到x=y=z=1
所以
解法二（柯西不等式）
柯西不等式：(a₀² a₁² …)(b₀² b₁² …)≥(a₀b₀ a₁b₁ …)²
根据柯西不等式有
将
代入不等式得到3·3≥3²
等号成立条件为
所以有x=y=z=1
所以
解决三（空间解析几何）
空间解析几何：球面与平面相切于点G(1,1,1)
因为，所以
此方程在空间中表示为一个平面，且与x轴、y轴、z轴的截距为3。
即与x轴、y轴、z轴的交点分别为(3,0,0)，(0,3,0)，(0,0,3)
因为，所以
此方程在空间中表示一个以原点为圆心，半径为的球面。
空间中点到平面的距离:
点,平面,距离。
有
原点O到平面x y z=3的距离OG为
因为圆半径也为，所以点G为平面与圆的切点。
即方程和有唯一实数解。
下面我们结合三角函数和几何特征进行计算。
空间解析几何：正立方体对角线与坐标轴的夹角α
因为圆方程为
所以可以令
，α为圆半径与x轴的夹角
，β为圆半径与y轴的夹角
，γ为圆半径与z轴的夹角
并且有
由上图可知
同理有
即
所以
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