因为有理数是可数的，因此有理数的测度为0，证明如下：（转载）

简单说就是：

有理点集设为{r1,r2....}，取开集Ii=（ri-（ε∧i）/2，ri (ε∧i)/2）覆盖一个有理点ri，i=1,2,...

∑│Ii│=ε/(1-ε)，ε→0，得证。

按照测度的定义：

测度，数学术语。数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。

则对于（0，1）实数集区间来说，其测度为1，但实数集包含有理数域无理数，现在有理数的测度为0，所以无理数的测度为1。

那么如何理解有理数测度为0而无理数非0呢？

前面证明已经表明，有理数测度为0首先是因为有理数可数，也就是可以区分，比如n/m和

n 1/m，因此我们可以用一个个可以分割的区间将其覆盖；而无理数不能区分，个人觉得可以这样理解：原因应该在于，比如两个无理数，它们前面有无穷位都相等，而可能是无穷之后才最后一位不等，因此在有限的位数里面无法将这样两个无理数区分，因此也就没有办法将这样的两个无理数区分开来，所以无理数不可数，简单说，无理数我们可以认为它们是连在一起的。因此，无理数的测度非0。

每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。