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导读

质数分布的全部信息都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置当中。得救之道，就在其中！

本文为黎曼猜想系列之四，

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视频链接：

西瓜视频：

https://www.ixigua.com/7038905210156253700

本视频发布于2021年12月7日，观看量已超4万

精彩呈现：

在前三期节目中，我们介绍了黎曼猜想的背景，即质数分布问题，以及研究质数分布的基本工具，即欧拉乘积公式。我们还说到，黎曼通过解析延拓，把欧拉ζ函数升级成了黎曼ζ函数。顺便说一句，令许多人惊愕万分的所谓“全体自然数的和等于-1/12”，其实不是字面上的意思，而是说黎曼ζ函数在自变量为-1时的取值等于-1/12。那么，黎曼具体做了些什么呢？

黎曼是一位德国数学家，生于1826年，可惜天不与寿，只享年40岁，去世于1866年。黎曼从小就显示出了超群的数学天才，得到过数学王子高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777 - 1855）的赞赏，这是极其少见的。在黎曼去世五十多年后，爱因斯坦在发展广义相对论的过程中，又受到了黎曼极大的启发，可见黎曼的洞察力多么超越时空！

黎曼

1859年，黎曼33岁时被选为柏林科学院（Berlin Academy）的通讯院士（corresponding member）。为了答谢这个荣誉，黎曼向柏林科学院提交了一篇论文，标题叫做《论小于给定数值的质数个数》（Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse，英文翻译为On the number of Primes Less Than a Given Magnitude）。此文的篇幅虽然只有短短的8页纸，内容却非常丰富，语言极其精炼，直到现在都在不断给数学家们提供启发和挑战，堪称整个数学史上最深邃和最难啃的论文之一。此文的要点包括：

一，我们应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数（complex number），而不只是实数；

二，我们可以通过解析延拓（analytic continuation），让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义；

三，通过对ζ(s)的研究，我们可以对小于等于某个数x的质数的个数给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置；