撰文 | 夏志宏
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公元1610年，天文学家伽利略发现了太阳黑子，这在欧洲引起了极度恐慌。从亚里士多德以来，人们一直认为太阳是完美无缺的。太阳黑子的存在破坏了这些根深蒂固的文化理念。太阳有缺陷这个事实也与当时的宗教教义所相悖。
同样，人们一直认为数字是完美无缺的，无理数的发现使一群数学迷们异常惊恐。为了防止世人窥视到上帝的缺陷，发现者被绑上石头，沉入海底。
公元前第五世纪，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派倒霉的希勃索斯（Hippasus）发现了一个惊人事实，一个边长为一的正方形的对角线长度不是有理数。无理数的存在说明了数轴上存在不能用有理数表示的“空隙”，和毕达哥拉斯学派的“万物皆为数（有理数）”的哲理大相径庭。学派领袖惶恐、愤怒以后，可怜的希勃索斯被百般折磨，判了极刑。从此毕达哥拉斯学派把守住这一秘密当成学派的头等大事。
在人类科学史上，以“主义”、“思想”等教条来“指导”、“武装”科学研究时，其结果往往是悲剧。
根据勾股定理（在西方叫毕达哥拉斯定理），边长为一的正方形的对角线长度为
，也就是说，希勃索斯是第一个发现
是无理数的人。
根据古希腊哲学家柏拉图《对话录》记载，数学家Theodorus of Cyrene发现了从2到17整数中，除了4，9，16这几个完全平方数而外，所有的平方根都是无理数。柏拉图没有解释Theodorus为何停在17。事实上，可以证明任何正整数的平方根如果不是恰好是整数的话，那一定是无理数。
无理数的发现经常被称为数学史上的第一次危机，其影响是深远的。有理与无理的对立不仅有抽象的哲学意义，也有广泛的应用意义。
两个实数的比例如果是有理数，我们称这两个实数有理相关。在力学上，震动频率的有理相关会引起共振，而共振会带来系统的不稳定。举个小例子，如果人在木桥上走动的频率与木桥晃动的固有频率有理相关，就会引起危险的共振现象。
再举个例子，太阳系在火星和木星之间有众多的小行星，形成一个小行星带。已发现并确认的就有几十万颗。这些小行星在太空中的分布和它们的轨道稳定性有密切关系。如果小行星绕太阳的运动周期和木星的周期比例是有理数，这就形成共振，它们之间的相互影响就会很大，这些影响往往会导致小行星轨道的不稳定。因此，在这些轨道上小行星的数目就会很少。小行星分布的著名Kirkwood空隙就是在这些共振区域。比较大的空隙是3:1、5:2、7:3和2:1等共振区域。
