同学们好，我是李状元数学课的李老师，讲人人都听得懂的高中数学课。

上节课我们用高考后的表白的例子说了一下什么是集合和元素，集合的三个特性，大家还记得吗？

集合有确定性、互异性、无序性三个特性。

今天我们继续往下看集合的知识。

我们说集合里的元素是确定的，那么想一想，一个集合可能有多少个元素呢？

答案是从0到正无穷都有可能。如果一个集合里没有元素，我们把它叫做“空集”。

又比如，所有的正整数可以组成一个集合，这个正整数集的元素个数就有无穷多个。类似地，自然数集、有理数集、实数集这些集合，元素也都有无穷多个。

上节课我们说了，你和你的同班同学其实也可以作为元素组成一个集合，集合里的元素是包罗万象的，但是我们数学里研究得最多的，还是数集和点集两种，意思就是集合的元素是数或者点。

一个元素在不在一个集合里，或者说元素a属于还是不属于集合A，我们用一个专门的符号来表示。这就是元素和集合之间的关系。我们可以根据一个集合的定义，判断某个元素是否属于这个集合。

举个例子，0这个数属于正整数集吗？很容易判断出来，不属于，0不是正整数。

上面是说元素和集合的关系，还有一个就是我们要判断集合与集合之间的关系。

比如一个集合A是你们学校的高三一班，元素是高三一班里的所有同学；集合B是高三年级，元素是高三年级的所有同学。那么我们会发现，这两个集合有包含的关系。就是集合B比集合A要大，集合A里的所有元素都在集合B里。因为一个同学只要是高三一班的，他当然就是高三年级的。

这种情况下，我们就说集合B包含集合A，或者说集合A包含于集合B。还有一种表述，集合A是集合B的子集。

要注意区分一下刚才说到的两个概念，就是属于和包含的区别。属于是说元素和集合的关系，包含是说集合和另一个集合的关系。

除了包含，两个集合还能有什么关系呢，大家思考一下？

思考的时候我们可以像上节课一样，画两个圈，分别代表集合A和B。那么画一画这两个圈，看看有哪几种位置关系，我们就知道两个集合可以有哪几种关系了。这种圈圈图其实有专门的名字，叫做Venn图。

比如刚才说的包含，就是一个大的圈包住了一个小的圈。

如果两个圈相互分离，没有重叠的部分，也就是没有任何公共的元素，这也是一种关系。

还有就是两个圈可能有一部分重叠。就是有一些元素既属于集合A又属于集合B，但集合A和集合B还各自有一部分独有的元素。

在这种情况下，我们就把这个圈的交叉部分定义为一个新的集合，叫做A与B的交集，写成“A∩B”。注意了，“A∩B”是一个集合，其中的元素就是集合A与集合B的公共元素。

除此之外我们还定义一个另一个新的集合，就是一个元素不管属于集合A还是属于集合B，我们都放到这个新的集合里，那么这个集合就叫做A与B的并集，写成“A∪B”。

好了，今天我们讲了元素和集合之间的关系，也就是属于或者不属于的关系。

还有集合和集合之间的关系，有一种是包含的关系。

更重要的是，集合的交集与并集：

由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集；

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集。

同学们明白了吗？下课！