开普勒总结出了行星运动三定律，牛顿用平面几何证明了椭圆轨道、双曲轨道都对应平方反比的吸引力，牛顿第二定律加微积分证明了平方反比的吸引力作用下运动轨迹为圆锥曲线（双曲线、抛物线、椭圆、圆等）。

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

行星的运动，恰巧是人的特征尺度上可研究的问题。行星的量度足以为人眼所分辨，其运动的特征时间又与人的特征时间（年、日）相吻合^[1]。人类数千年关于行星在天空中位置变化的观测，在1602年达成了质的跃变。那一年，德国天文学家开普勒指出，行星绕太阳的运动在相同的时间内扫过相同的面积。这后来被称为开普勒第二定律。用近代物理的语言表述，它说的是有心力场内的运动保持角动量守恒。1605年开普勒又指出行星绕太阳运动的轨道是太阳居于焦点之一的椭圆。这后来被称为开普勒第一定律。开普勒第一、第二定律收录于Astronomia Nova （《新天文学》）一书。1619年开普勒宣告了他的第三定律，行星轨道周期的平方与其半长轴的立方成正比。第三定律收录于开普勒的Harmonices Mundi^[2]一书。

一般书里介绍开普勒三定律，基本上是照着字面一成不变地转述：1）行星轨道为椭圆，太阳在椭圆的焦点之一上；2） 行星轨道在相同的时间内扫过相同的面积；3） 行星轨道周期的平方与其半长轴的立方成正比。至于从近代物理的角度看这三定律的含义是什么，内在关系是什么，未来有什么进展，还有对中国人来说比较重要的汉译是否正确，则鲜有论及。请允许笔者稍作补充。

关于第一定律，开普勒一开始考虑的轨道是卵形线，毕竟他手里只有有限的、不准确的关于火星和太阳的观测数据，连起来不会看起来如完美的椭圆。但那时候没人知道卵形线的方程——卵形线的方程还得等二百四十多年才由麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879）给出。椭圆作为行星轨道的选择有点不那么自然而然，一个可能的原因是椭圆有两个焦点（focus） 而天上只有一个太阳，凭什么太阳在这个焦点而不在那个焦点上？实际上，天上有一个太阳，太阳是个大火炉，火炉才是拉丁语focus （furnace）的本义。后来我们知道，椭圆，与双曲线、抛物线、圆、直线、点等几何图形一样，都是圆锥曲线的特例，本质上是一致的，都可以是平方反比力场作用下物体的运动轨迹。抛物线就只有一个焦点，而椭圆也有只需一个焦点的定义——到一点的距离和到一条直线距离之比为小于1的常数的点的集合是椭圆！第一定律确定了行星轨道的全局几何性质，第二定律确定的是行星在轨道不同位置上的运动快慢问题。用现代物理语言来说，行星绕太阳运动，其角动量守恒。第三定律讲述的轨道大小（由椭圆的半长轴, a, 和偏心率表征） 与运动快慢（与轨道的大小和周期, T, 有关）之间的关系，

。从现代物理的角度来看，第三定律引入了能量的问题，能量大的椭圆轨道离太阳更远以至变成抛物线或者双曲线。也就是说，行星轨道问题关系到的物理量分别是角动量

和能量

。后来的尼尔斯·玻尔（Niels Bohr, 1885-1962）熟知这一点，所以他为了给电子绕氢原子核运动的能量只有一些