高中数学解题方法之“化归的基本原则”

文/刘蒋巍

为了有效地实施化归去解决问题，化归不能盲目进行，一般应遵循以下诸原则。

原则1：化归目标简单化原则

无论是从认识规律，还是能便易、简捷地解决问题，化归的第一个原则应该是化归目标的简单化。即化归应朝着目标简单的方向进行，将待解决问题向简单的较易解决的问题化归。这里的简单，一是指问题结构形式表示上的简单，二是指问题处理方式、方法上的简单。

当然，简单也具有相对性。例如，解方程问题，在初学一元一次方程内容时，形如ax＝b的方程是简单的，而不是这种形式的方程就是复杂的。在解方程时，化归的目标就是通过把含有未知数x的项移到一边，常数项移到另一边，合并后使原方程呈简单形式ax＝b。学习并掌握了这部分内容之后，再学习方程组及分式方程时，所有一元一次形式的方程就都是简单的了。而当有关方程内容学完并掌握之后，方程问题就是简单的了。此后，若遇到某些求值或求解问题时，我们就可以考虑向方程问题化归，只要将求值或求解对象纳入到某个方程（组）中，就基本上可以说问题解决了，因为方程问题对我们而言已是简单问题。

这里，要强调指出的是，在关于解方程的教学中，要让学生在把握解方程基本步骤的基础上，领悟“化归为最简形式的方程”这一思想，并且在中学数学整个方程内容的教学中，要把这一思想作为教学重点，而不只是让学生机械地记忆解方程的几个步骤。因为只有领悟了这一思想，才能使学生有效地、灵活地处理各种问题。

原则2：具体化原则

根据人的认识规律，对于具体问题的认识总要比抽象问题容易些，因此，在化归时，要遵循的第二个原则是化归的具体化。即化归的方向一般应由抽象到具体，在分析问题和解决问题时，应着力将问题向较具体的问题转化，以使其中的数量关系更易把握。如尽可能将抽象的式用具体的形来表示，将抽象的语言描述用具体的式或形表示，以使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体、明确。

原则3：和谐统一性原则

在数学问题中，给出的条件有时会在量、形关系上显得较为杂乱，无从下手。这时，需要根据待解问题的表现形式，对所给的量、形关系做和谐统一的化归，这就是化归的第三个原则——和谐统一性原则。即化归应朝着使待解问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更匀称和恰当。

【例1】在ΔABC中，A＝2C，求证：b/3＜a—c＜b/2．

分析 条件是角的关系，结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结论与条件统一起来，转化为sin B/3 <sin A—sin C<sin B/2，进一步将角统一起来，由A＝2C，B＝π—（A＋C）＝π—3C，结论进一步转化为关于单变元C的不等式sin 3C/3<sin 2C—sin C<sin 3C/2，将之再简单化为两个更为具体的不等式，即sin 3C/3＜sin 2C—sin C，且 sin 2C—sin C＜sin 3C/2.从而，问题就化归为如下两个表现形式上较统一的问题：

（1）在ΔABC中，A＝2C，求证 sin 3C＜3sin 2C—3sin C．

（2）在ΔABC中，A＝2C，求证2sin 2C—2sin C＜sin 3C．

对于问题（1），继续将结论统一为关于同角C的同名三角函数的不等式：

sin 3C<3sin 2C—3sin C，

等价于3sin C—4sin3C<6sinCcos C—3sinC

等价于—4(sinC)^2—6cos C 6<0

等价于2（cosC）^2—3cos C 1<0

等价于(2cos C—1)(cos C—1)<0

等价于2cos C—1>0

等价于cosC>1/2.

问题（1）随之就化归为：在ΔABC中，A＝2C，求证cosC＞1/2．这是一个很简单的问题．同样可证问题（2）．

分析上述解题过程，如何将元素统一，以及将条件与结论在表现形式上的统一是问题解决的关键，化归正是朝着这个方向进行的。

其实，回顾、反思中学数学学习，很多内容都是遵循统一性原则的：如分式的加减运算要统一为同分母的分式加减运算；不同底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的对数来运算；多变元的问题通过消元变为一个变元的问题；三角诱导公式的重要作用就是实现三角式的和谐统一，等等。

原则4：形式标准化原则

从某种意义上来说，数学是关于模式的科学，每一个公式、法则，每一个定理、结论都可以看作是一个模型。显然，在问题解决中会不断地、反复地使用公式、法则、定理和结论，但在使用时，首先要化归为相应的模式。例如，一元二次方程求根公式及根与系数的关系都是关于标准形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0而言的，因此只有化归成标准的一元二次方程形式后，才可用根与系数的有关结果。再如，解析几何中二次曲线的有关理论都是针对标准形式的方程讨论的，因此也只有化归为标准方程形式，才可以运用这些理论。如果把已经建立起来的公式、法则、每一个定理、结论称为标准形式，那么将问题向该类问题的标准形式化归，即形式标准化也是数学解决问题的一个基本原则。

原则5：低层次化原则

化归的低层次化原则是说，在解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决。这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单。

【例2】求方程x3-y3＝xy＋61的自然数解x，y.

分析 观察方程结构知x＞y，又由x3-y3＝（x-y）xy＋（x-y）．（x2＋y2）知x不能比y大太多，考虑用线性代换x＝y＋d降低方程次数。代入原方程并整理得（3d-1）y2＋（3d2-d）y＋d3＝61．由x＞y得d≥1，从而3d—1＞0．又因为y＞0，所以，d＜61，d≤3．因此，d只有三种可能的取值d=1,2,3.

不难验证，只有d＝1时，y才有自然数解，此时y＝5，x＝y＋d＝6．因此，原方程的自然数解为x＝6，y＝5．

刘蒋巍，江苏如东人，中国数学会会员，CNKI大成编客推荐主编，《课程教育研究》特约编委,学思堂教育研究院院长，师生成长高级研修院院长，在《高等数学研究》、《中学数学教学参考》等杂志发表论文30余篇，著有《命题转换的9种方法在教学中的运用》、《中学学科学法指导》、《江苏高考数学复习指南》、《教学之道28篇》、《新时代人力资源管理教程》等书籍20余本。拥有《LOVE教学原则、ICPR教学法、IPBQLD教学法与五感授课》、《LSMF教学法、EBASV教学法与渐进式提问》、《6783教学体系：文言翻译六字诀、编题七字诀、读写结合八步法、三情境反思法》、《教师四课研训》、《五步成“师”：数学教师成长的5条路径》等版权课程300余部。