刘徽根据出入相补原理用几何方法推导出公式(4)

把题目数据代入公式(4)计算，就得到答案4又20分之11(单位:尺)。

吴文俊先生作出的补证抄录如下:

沙田求积:已知三边求面积。

现成的解题工具盘点:（1）三角形面积公式:S=½ahₐ;(《九章算术》有此公式)

（2）勾股定理:a² b²=c²;(赵爽和刘徽已证明)（3）勾股公式:已知勾，已知股弦和，可求股。(刘徽注解《九章算术》推导出此公式)

解题计划:

(1)以大斜为底边作图并标注斜三角形;

(2)作高构造勾股形并标注;

(3)以大斜的两段构造辅助元素勾股形并标注;

(4)用勾股定理求勾;

(5)用勾股公式求股;

(6)已知股和小斜，可用勾股定理求高;

(7)已知高和大斜，可用三角形面积公式求面积;

(8)提炼出秦九韶公式，所有辅助元素可以在过程中出现，不允许在结论中出现。公式中只能有三斜和常数。

解题过程:

勾方=(中²-高²)-(小²-高²)

=中²-小²=14²-13²=196-169=27

股=(股弦和方-勾方)÷2倍股弦和=(15²-27)÷(2×15) (折竹求高的公式4)

=(225-27)÷30=198÷30=6.6

高方=小方-股方=13²-6.6²

=169-43.56=125.44

高=11.2

笔算开平方图一

面积=½大斜×高=15×11.2÷2=84

提炼公式

公式验证:

秦九韶公式

把a=13，b=14，c=15代入公式

a²c²=169×225=38025

a² c²-b²=169 225-196=198

½(a² c²-b²)=99

½²(a² c²-b²)²=99²=9801

a²c²-½²(a² c²-b²)²=38025-9801=28224

28224开平方=168

笔算开平方图二

面积=168÷2=84

怎样从以上解法概括出具有一般化和普遍性的秦九韶公式？

请看下图: