巧用两点间距离公式求最值

在平面直角坐标系中，任意两点A(x1,y1)B(x2,y2)的距离是AB=√(x1-x2)² (y1-y2)²，也可以写成AB²=(x1-x2)² (y1-y2)²

，原理很简单，以AB为斜边，构造直角三角形，使其两直角边分别与坐标轴平行，利用勾股定理可得。

在学习过程中，不仅仅知道点坐标求距离，同时更需要将某个平方和看作两点间的距离，这种逆向思维往往就是解决难题的突破口。

题目

如图，点A、B、C均在坐标轴上，OA=OB=OC=1，过点A、O、C作圆D，点E是圆D上任意一点，连接CE、BE，则CE² BE²的最大值是_____________

解析：

学生思考方向一：连接AB、AC，得到一个等腰直角三角形，发现AC是直径，又连接AE，得到Rt△ACE，于是将CE²转化成AE² AC²，其中AC²=2，因此得CE²=AE² 2，然而BE与CE的关联未建立，至此陷入困境；

学生思考方向二：连接OE，过点E向y轴作垂线，然后，就没有然后了；

学生思考方向三：过点E向x轴作垂线EF，构造双勾股模型，然而BF² CF²如何变化不得而知，思路卒。

以上三种思考方向或者更多类似的方向，无一不是仅从几何角度思考问题，但为什么在题目第一句描述中，要提到坐标系呢？这是否有什么暗示？

带着这样的疑问，我们可以尝试用点坐标来解决问题，既然点E是圆D上的动点，不妨设E(m,n)，这样我们可以利用两点间距离公式来表示CE²和BE²，推导如下：

CE² BE²

=(m-1)² n² (m 1)² n²

=2m² 2 2n²

=2(m² n²) 2

观察上式，括号中的m² n²何时最大呢？

此时需要逆向思维，这个式子在图中是指哪条线段长？

为方便学生找到突破口，可将这个式子再次改写成(m-0)² (n-0)²，至少可看出是点E到原点的距离，即OE²=m² n²；

因此CE² BE²=2OE² 2，现在的任务是判断OE什么时候最长？

回到图中的圆D，OE是它的一条弦，根据圆内最长的弦是直径，只有当OE经过圆心时，它最长，如下图：

图中的E'即所求位置，只要求出OE'的长度即可。

显然图中∠OCE'=90°，理由是直径所对的圆周角是直角，连接AC后，可证明它就是直径，所以可求出直径为√2，最后得到OE²=2，至此问题解决，CE² BE²最大值是6.

解题反思：

从学生实际遇到的困难来看，数形结合仍然不够熟练，或者说压根没有这个念头，这意味着在读题时，“点A、B、C均在坐标轴上”没理解。平时养成多问为什么的习惯，如果能问自己，为什么要所问题放在坐标系中，或许能更快找到思路。

最值问题的解决有很多条路可走，在给学生讲一类问题的时候，需要注意分析其本质属性，而不是表面属性。前者是为什么要用某种方法，后者就是看到关键词（图）就用某方法，教学时需要授人以渔而不是授人以鱼。

*爱数学做数学