我最近阅读、了解了一些数学专业相关的知识，真可谓大吃一惊，大开眼界。

通常，印象中，数学专业研究的数学，不过就是难一点嘛，是我们这些业余选手学的数学的加强版。

这就好比以前高中课本中的一些加*号的章节，或者历史课本里的小字部分，啥意思？

高考不考嘛。

似乎，他们学的，应该就是我们考试不考的内容，仅此而已。

但实际上，完全不是这样。

打个比方：

用软件的人，和开发软件的人，显然不是一类人。

用软件的可能是个会计，或者是炒股的散户，或者是网购剁手党，甚至是路边炒饭的大哥，他们来自各行各业，只不过因为业务需要而使用某些软件。

而工程师呢？他们面对的，其实是代码，是程序。

所以，用软件的和做软件的，不是一类人。

同理，大学里的“数学专业”和学习中用到数学的“理工农医专业”，所学的数学，也不是一回事。

举个例子：

什么是自然数？

定义 自然数就是集合：

N := {0, 1, 2, 3, 4, ······}

中的元素，我们将N称为自然数集。

通俗地说就是，从0开始，无休止地往后数(shǔ)所得到的所有数(shù)。

自然数不就是012345一直往后数嘛，这高大上的集合的概念都用上了，看起来应该没问题啊。

但是，对于实分析来说，这个定义漏洞百出，好多问题悬而未决：

• 什么是“往后数(shǔ)”？

• 0, 1, 2, 3, 4是什么鬼？这些符号尚无定义。

• 3和0不相等吗？如何证明？

• 可以往后一直数(shǔ)下去吗？是否有尽头？如何证明？

相当有病吧。

对，这就是我刚才说的，数学专业和用到数学的其它专业，是两个不同的概念。

现在，我们展示如何解决前面提出的那几个问题。

首先，我们直观地感受到，自然数的主要规律是：

后一个数相比前一个数在“增长(zhǎng)”。

在C语言中，增长运算用 来表示，因此，我们首先说明，用n 表示n的“下一个数”。

公理1 0是一个自然数。

公理2 若n是自然数，则n 也是一个自然数。

所谓公理，是不用证明的，你大可自己创造一套公理系统，但应该不会比数学家的更好使。

有了这两条公理，我们就可以得到很多自然数：

0, 0 , (0 ) , ((0 ) ) , ······

但是，我们发现，这些符号过于冗长，因此，我们定义：

定义1

1是0 ,

2是(0 ) ，

3是((0 ) ) ，等等。

你完全可以定义成罗马数字ⅠⅡⅢ，或者①②③，甚至火星文，你习惯就好，因为，这和怎么书写无关，123只是一些无关性质的符号而已。

于是，我们就可以证明：

命题1 3是自然数。

证：根据公理1，0是自然数，又根据公理2，0 是自然数，再用公理2，1 是自然数，再用公理2，2 是自然数，因此，3是自然数。

冷静，还没完。

这个序列可以一直往后增长，但会不会有尽头？

比如，0123401234·····，这也是一直往后增长喔。

因此，我们必须给出一个说法：

公理3 0不是任何自然数的后继，即对于每个自然数n，都有n ≠0.

有了这个公理，我们就可以证明：

命题2 3不等于0.

证：根据我们刚才已有的原理，3是0的增长的增长的增长，因此，根据公理2，3是一个自然数，又根据公理3，3≠0.

但是，还有问题。

我们数着数着不会回到0，那是否会回到2或者3或者其它的数呢？

因此，我们也要作出规定：

公理4 不同的自然数必有不同的后继。

简而言之就是，

如果m和n是自然数，且m≠n，那么，m ≠n 。

这套公理系统被称为Peano(1858-1932)公理，限于篇幅，我们不在此展开第五条公理，因为这些内容已足够说明：

我们在生活、学习、工作中用的数学，远不是数学真正的样子。

因此，大家在报考数学专业时，还是得慎重考虑：

这数学，是数学专业的数学。

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