实数完备性有六大基本定理，它们是互相等价的。这六个基本定理分别是，确定原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，以及柯西收敛准则，全部都在《老黄学高数》系列视频中介绍过了。剩下的就只是证明它们等价的工作了。
在《老黄学高数》第73讲中，老黄用确界原理证明了单调有界定理；《老黄学高数》第213讲中，又用单调有界定理，证明了区间套定理；然后在218讲中，用区间套定理证明了聚点定理，顺序有点跳跃了；不过第221讲中，老黄又用区间套定理证明了有限覆盖定理；第219讲，用聚点定理的推论证明了柯西收敛准则，虽然用的是推论，而且只证明了充分性，不过也算完成了由聚点定理到柯西收敛准则的推导了；第215讲中，还用区间套定理证明了柯西收敛准则。
这篇文章，老黄先用柯西收敛准则证明确界原理。下一篇作品，老黄再用有限覆盖定理证明聚点定理。这样就完成了一个循环的证明，从而证明了六个基本定理是互为等价的。
你还记得数集的确界原理吗？
数集的确界原理就是：数集有界就必有确界。简单说成“有界必有确界”。有界是条件，有确界是结论。
接下来，用数列的柯西收敛准则证明确界原理.
证：设S为非空有上界数集. 由实数的阿基米德性，对任何正数a，存在整数ka，使得λa=ka*a为S的上界，【即对任何两个实数，一个是任取的正数a，另一个没说，是靠想像出来的，它是S的一个足够小的上界也可以，是S中一个足够大的元素也可以。那么就一定存在一个整数ka，使得ka和a的积，成为S的上界。即，使得ka和a的积大于S的一个足够小的上界，所以这个积就成了S的上界，又或者大于S中任何元素，这个积也会成为S的上界。】
而λa-a=(ka-1)a不是S的上界，即存在a’∈S，使得a’>(ka-1)a.【这个ka是一个恰如其分的整数，小一个整数单位，得到的数就不是S的上界了。阿基米德他老人家早在两千多年前，就告诉我们，这是可以做得到的啦，所以你也不需要疑惑，能够想得明白最好。不是上界，就说明S中有一个元素a'，比它大。有了这么一个规律，我们就可以充分地把它利用起来】
分别取a=1/n, n=1,2,…，则对每一个n，存在相应的λn，
使得λn为S的上界，而λn- 1/n不是S的上界，故存在a’∈S，使得a’>λn- 1/n.
又对正整数m，λm是S的上界，【折磨完n，再折磨m，反正哥俩都是正整数，所以n对应的有λn， m就有λm，它也是S的上界】
故有λm≥a’，∴λm>λn- 1/n, 即λn-λm< 1/n,
同理有λm-λn<1/m,【同样的道理，上面的戏路重复一遍，换m做主角,n做配角就可以了】
∴|λm-λn|<max{1/n, 1/m}.
于是，∀ε>0, ∃N>1/ε ，使得当m,n>N时，有|λm-λn|<ε.
由柯西收敛准则，数列{λn}收敛，记lim( n→∞)λn=λ.
∵对任何a∈S和正整数n, 有a≤λn, ∴a≤λ, 即λ是S的一个上界.【对S内的任何元素a，和任意的正整数n，因为λn的每一个元素都是S的上界，所以不小于a，由极限的保不等式性就可以知道，极限λ不小于常数列a的极限a，如果这是λ的解集，λ就是S的上确界，可惜它不是，而只表示λ和a的大小关系而已，所以现在λ也只证明是S的一个上界而已，下面证明它就是上确界】
对任何δ>0，由1/n →0(n→∞)知，【这里用正数δ代替常用的ε】
对充分大的n同时有1/n<δ/2, λn>λn- δ/2,
又λn- 1/n不是S的上界，∴存在a’∈S，使得a’>λn- 1/n ，即有a’>λn- δ/2- δ/2=λ-δ.
∴λ为S的上确界. 【上确界的定义一定要好好理解，通常点说，上确界是上界的最小值，只要再稍微小那么一点点，不管这一点有多小，得到的数都不再是数集的上界，那么这个上界就是数集的上确界】
同理, 若S非空有下界，则必存在下确界.
综合起来，就是“有界则必有确界”的确界原理了。好难！是吧？难就多看几遍，好好思考，就会懂了。数学越抽象难理解的问题，其实本质上是越简单的。
