我们可以用旋转的方式思考圆锥的形成过程：圆锥半截面绕着对称轴旋转，与此同时，圆锥的重心经过的轨迹是圆弧，如果我们把这个圆弧和半截面面积相乘——

刚好等于圆锥体积！

这是一个巧合吗？还是冥冥中确实有什么规律在支配？于是我开始怀揣着惊喜，开始验证我所知道的旋转体公式，我发现全部正确！就连圆、圆环的面积，也可以用这种方式理解：

• 圆面积

线段的重心在中点处，故中点经过的弧长为

• 平环积

于是我“发现”了如下定理——

（帕普斯-古尔丁）旋转几何体体积等于半截面重心旋转时经过的弧长乘以半截面面积

那么怎么理解这个公式呢？

这个定理体现了两种思想：平均和运动。不过想要完全说明白，得让我们先回到对长度、面积、体积的思考。

长度是如何定义的呢？我们事先规定单位1，然后其余的长度都是由单位1去度量。面积、体积其实也是如此，我们规定一个单位面积（体积），然后用它去衡量图形的大小。例如一个三行四列的矩形，我们知道它是由个单位正方形组成，于是它的面积就是12. 矩形面积等于长乘宽，就是这么来的。乘法本身就和运动相关，我们同样可以将这12个正方形理解为，一行4个正方形沿列的方向平移了3次。这显然是等效的。

即便是斜向运动，但依然是三层。这就是“高”的几何意义

最早我们理解“点动成线、线动成面、面动成体”，下意识都会将运动理解为平移。例如柱面，就是由底面沿某方向的平移形成。而沿曲线运动的问题一般不是中学生能解决的。

帕普斯-古尔丁定理是研究沿圆运动的定理。它突显出了重心的重要性，而这在平移运动时是隐藏起来的，因为平移运动时，所有的点的移动都是完全一样的。重心体现了“平均”的思想，我们不需要研究旋转体半截面上所有点的移动，只要考虑重心的移动就可以，因为它的移动距离是所有移动的平均值。这点在圆运动中最为明显，请读者自行思考。

再来考虑运动。例如柱面体积公式，即便是平行移动，实际上我们需要考虑位移沿着底面垂直方向的投影——高

当位移刚好和底面垂直时，此时