|作者：陈 昊 沙 威 戴 希
(1 普林斯顿大学电气与计算机工程系 物理系)
(2 浙江大学信息与电子工程学院)
(3 香港科技大学物理系)
本文选自《物理》2022年第6期
近期关于电磁学和电动力学的大讨论仍在继续，主要的关注点从之前的运动介质电动力学转移到了对电磁感应现象的深入剖析。通过讨论，笔者发现一些同学甚至是专业的科技工作者对于如感生/动生电动势、感生(涡旋)电场、非静电力、电势差等概念存在误解和混淆。经过初步调研后发现导致这一问题的原因是由于普通高中教育阶段可以使用的数学工具有限，新课标高中物理对于电磁感应现象的讨论规避了一些技术细节，而一些大学工科中文电磁学教程里关于这一段的论述又存在错误的表述和公式。为了帮助读者朋友理清相关概念，笔者决定以此内容作为“漫话麦克斯韦方程组”专题的第二篇文章。
01
微观形式的欧姆定律——电流怎样流动起来
为简单起见，我们先探讨最简单的“稳恒电流”，即电路中的电流不随时间变化的情况。从物理机制上来讲，导体中的电流如何流动的规律被总结为“微观形式的欧姆定律”：导体中的电流密度(单位时间单位面积流过的电荷量)与单位(正)电荷受到的合力=/成正比，比例因子称为“电导率”，记作。一般情形下，电导率是张量，如果电流密度与合力方向一致，电导率是一个标量，等于电阻率的倒数(金属导电的经典模型详见附录1)。为叙述方便，还经常将单位电荷所受的合力拆分为静电场(静电场的定义即为单位电荷受到的静电力)和非静电力。微观形式的欧姆定律的数学表达式即为：
常见的非静电力有化学电源中的化学作用，发电机中的磁力，浓度不均的体系中的扩散作用，温差电效应等等，它们都可以严格或近似地用单位电荷所受到的力来描述，如：
(1)磁力：= ×，其中是导体在磁场中做切割磁感线运动的速度；
(2)温差电(Seebeck效应)：= -∇，其中是Seebeck系数，是温度。
在这里，我们要澄清一个比较容易被误解的点：一些同学学习到电流和电路这一章节的时候，将其与之前所学的静电场的内容完全割裂开了。通过上述的欧姆定律，我们清晰地看到：在电路中驱动电荷做定向流动的是静电场与单位电荷所受的非静电力这两者；而在一般的电路中，非静电力仅在电源内部(内电路)存在。因此在整个外电路中，驱动电荷运动的只是静电场本身。这个静电场是哪里来的呢？答案其实非常有意思，它与我们在初中第一次学习电路时就知道的一个事实“稳恒电路中同一根导线中的电流处处相等”息息相关。设想如图1所示的一段电路，如果一开始流入拐角处的电流大于流出的，即>，则根据电荷守恒，会有正电荷在图中拐角处积累。这样一来，累积起来的正电荷就会产生一个方向向外的电场，累积的越多则电场越强。从图中可以看出，这个电场在流入电路的部分与电流方向相反，减小了单位电荷所受的合力，而在流出电流的部分与电流方向相同，增大了单位电荷所受的合力。根据上述的欧姆定律，我们立即知道随着电荷的累积，流入的电流会逐步减小而流出的电流会逐步变大，直到二者相等，则电荷不再累积，电流也不再变化，电路达到稳定状态。在实际的电路中，静电场几乎无处不在，其来自于在电路中积累的电荷，反馈式地调节着电路中各个部分的电流大小。
图1 一段电路(下文的论证与电路的形状无关，画出一个“拐角”只是为了可以指代清楚)(图片来源：格里菲斯《电动力学导论》)
细心的读者可能注意到前文提到了“稳恒电路”的条件，事实上，即使是在交变电流的情况下，只要电路中的电流变化不是很快(交流电路的(角)频率足够低：<</，其中是光速，是电路的长度尺度)，则在电流发生改变时，电荷重新分布的速度都远比它快得多。因此在任意时刻，交变电路都可以看成是一个“瞬时的稳恒电路”，上面的所有论述仍然是成立的（电流密度的散度处处为0）。这其实也是“电路”这一模型的适用极限：如果频率过高，则不能再用电路中诸如“电压”、“电阻”、“电容”等概念进行分析，而要使用完整的电磁场理论，将电路看成电磁介质，仔细讨论电荷和电磁场的动力学问题，这样的“电路”就成为波导了。我们可以把这种电流变化足够缓慢的情况称之为“近稳恒电路”，它实际上就是笔者在“漫话麦克斯韦方程组”专题的第一篇文章中提到的“准静态近似”的情况(例如电容器是“电学准静态近似”，电感器是“磁学准静态近似”，而电阻器既可以看作是电学也可以看作是磁学准静态近似)，在此不再赘述。不过需要强调的一点是：在电流可以随时间改变的一般情形下，本节中提到的由电荷积累产生的“静电场”应改称之为“纵向电场”，其对电荷产生的作用力就是“静电力”。
02
电动势与电势差——从微观到宏观
在上一节，我们通过微观形式的欧姆定律明白了电荷在电路中稳定流动形成电流的物理原因——非静电力和纵向电场产生的静电力。不过这一规律在实际问题中非常难以应用，因为电路中的纵向电场是电路中的电荷自行分布达到平衡从而形成的，既不受我们的控制，也无法简单地测量出来。为了得到更有实用价值的物理规律，物理学家将上述表达式乘上导线截面积，并沿着一段电路进行线积分，就得到了常见的(宏观形式的)欧姆定律(注意到∙=是电流，在一段电路中是常数，这里用表示沿电路方向的单位矢量)：
注意到等式左侧恰好是电路段的电阻与电流的乘积。那么等式右边是什么呢？由于我们分析的电路模型满足准静态近似条件，纵向电场是由电荷产生的有散无旋场，因此等式右边的第一项与静电学中的含义相同，为两点间的电势差=-，与积分路径无关；而右侧第二项则可以“看作”(该表述存在一些细节问题，详见下一节第二段)由运动到的过程中非静电力对单位(正)电荷做的功，量纲与电势差相同，定义为电动势(electromotive force，或electromotance，简记为emf)，通常用花体字母
