俯视图：Credit: 3blue1brown

从中心轴往外投影，聪明的你一定已经发现，投影的距离越远，小块就会变得越宽。

所以纬度越高的地方，也就是越靠近上下顶点的小块，投到圆筒上之后，宽度增加得越多；位于赤道上的小块与圆筒相接，宽度也就不发生变化。

EF 被拉长成了 CD

如果你知道相似三角形的比例关系，由于 △AEF和△ADC 相似，所以，这个增大的倍数是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

对于球上不同的纬度，d 会改变，而球的半径 r 不变。越靠近两极，d 越小，r/d 就越大，小块的宽度增加也就越多，这和我们观察到的现象一致。

类似地，可以看看平视方向的情况：

显然，这个方向上的投影会让小块的高度萎缩，也就是黄色的线段长度会缩短。

因为球的体态圆胖，越靠近两极，小块越是趋近“平躺”，投影之后高度萎缩的也越多；而在赤道上，小块直立，投影不改变小块的高度。

JH 投影后萎缩成了 EF

显然 ∠α=∠β=∠γ，于是 △HAD，△HIJ 两个三角形是相似三角形，根据比例关系，我们知道：

EF/JH = d/r

也就是说，平视方向投影会让小块高度萎缩，缩小比例是 d/r。

于是神奇的现象发生了，球上的每一个小块经过投影之后形状的确会发生变化，宽度拉长了 r/d 倍，同时高度萎缩了 d/r 倍，而这两个倍数相乘正好等于 1。

如此一来，小块投影前后的面积其实没有变化！仅仅利用几个三角形，我们就开心的证明了：计算球的面积可以用外接圆筒的面积来替代。