教材与学情分析

把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合。集合是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容。集合思想是数学中最基本的思想，甚至可以说集合理论是数学的基础。它在小学数学内容进行了多方面的渗透，比如数概念中的一一对应；数运算中并集和差集；概念之间的关系等。学生在三年级前面的学习过程中，已经对分类的思想方法非常熟悉，但对于用集合思想和维恩图的应用是陌生的。

人教版三年级上册《数学广角——集合》教材编排聚焦于学生经历探究过程，在解决问题的过程中认识维恩图表示集合、交集、并集的方法，感悟集合思想；并提供丰富的练习内容，有层次渗透集合知识。

教学设计

教学目标

1.经历维恩图的形成过程，了解简单的集合知识并感受意义；掌握“重叠问题”的简单列式解答方法。

2.借助维恩图解决实际问题的过程中，感受集合思想、符号化思想；培养数学信息表征能力、多角度思考问题，体验解决问题策略的多样性。

3.感受数学与生活的联系，用数学工具解决生活实际问题的便利性；培养同伴之间合作互学的意识。

教学重点

借助直观图，利用集合的思想解决简单的实际问题。

教学难点

理解维恩图中的各部分，并用规范的语言表达含义。

教学过程

一、理中获知

趣味前聊

两位妈妈和两位女儿去剪头发，理发师照常收费，却只收了三个人的钱。你知道为什么吗？

【预设】有一个人既是小女孩的妈妈，又是小女孩外婆的女儿。

【引导】你真会思考和表达，看看这节课能不能带着这样的数学眼光和语言去观察解决问题。

设计意图

前聊关于“重叠问题”的脑筋急转弯，既在课前拉近师生距离、活跃课堂气氛，又引发孩子对于“重复”的初步感受，为例题情境做好思考和行动准备。

探索维恩图

1.充分猜“总人数”

学校举办趣味运动会，三（1）班选派5人参加跳绳比赛 ，6人参加跑步比赛，参加这两项比赛的一共几人？

【预设1】5 6=11（人）

【引导】都确定是11人吗？

【预设2】不同意，如果有人既参加了跑步又参加了跳绳呢？

【预设3】我猜10人，有一个人重复参加了，要减去

【预设4】我猜8人，重复了3人

……

【引导】我听明白了，原来现在你们现在纠结讨论的是“是不是有人重复了”

板书：重复

2.自主表征信息

【引导】定睛一看，你猜到了吗？

【预设1】哈哈果然重复了3人。

【引导】一共几人也都马上发现了？

【预设2】我眼睛有点花了，还没找到这三人诶

【引导】拼眼力真的有点费劲！这张表格不能让人一眼看清总人数，能不能有一幅图让我们既能清晰地看出重复的人数，又能看出参加的总人数。请你在作业纸第一题重新整理信息，尝试画一画。

3.反馈多样图表

【引导】老师收集了以上这三种整理图表，请各自的作者来解说。下面的同学如果能理解并赞同，请掌声赞赏；听完有问题和建议，也请提出。

【预设1】：我是重新将表格人名的顺序进行了调换，重复的3人都放在前面，这样一目了然。（如下表）

【评价1】：重复的3人表格前置很清楚，但是总人数还是容易重复算进去

【预设2】：我是文字表达列出

只参加跳绳的：2人

只参加跑步的：3人

既参加跳绳又参加跑步的：3人

【评价2】：语言表达分类很清楚

【预设3】：我是画这样的圆圈图的，重复的放在两个圆圈重叠的部分，所以很清楚一共8人参加这两项比赛。

【引导】你们真会整理创造，这三个作品都有意识地将这些人员进行分类，并且呈现出了重复的3人。

板书 ：分类

4.揭题并介绍维恩图

【引导】那哪一幅图更清晰地让大家既看出重复的人数，也看出总人数。

【预设】圆圈图，分类的同时呈现重复，人名的个数就是参加两项比赛的总人数

【引导】对呀，看这幅图多清晰啊！你们跟英国数学家维恩想到一块儿去了，像这样的图也因维恩而命名，叫做维恩图。

【引导】维恩图中，跳绳的和跑步的学生都可以各自看成一个集合，两个集合重复的人就是两个维恩图相交重叠的部分。

理解算法

1.自主列式

【引导】现在请你们根据这张维恩图，列式解决“一共有几人参加这两项比赛”

2.图文结合解释算式

【引导】如果我收集的三个算式和你的有相同的，请你结合图替它代言解说。

【预设1】：5—3 6=8（人）先求出只参加跳绳不参加跑步的5—3=2（人），再加上跑步的6人。

【预设2】：5 （6—3）=8（人）先求出只参加跑步不参加跳绳的6—3=3（人），再加上跳绳的5人。

【预设3】：5 6—3=8（人）先求出参加跑步和参加跳绳的人数 之和，再减去既参加跳绳又参加跑步的3人。

板书：只……不…… 既……又……

3.比较总结

【引导】以上三种算式有什么相同之处吗？

【预设】都减去重复的3人，这3人

【引导】既然这3人这么妨碍，直接拿掉可以吗？（拿掉3人板贴）

【预设】不可以，这3人也参加了比赛，只是算总人数的时候只能算一次，所以要减掉一个3。

设计意图

学生因解决问题的需求，触发画图表征、抽象、列式解答的经历过程，有助于真正内化感受维恩图的妙用和集合思想。生生互动解说的过程，以优等生带动后进生的思考实践，激发学习的主动性和合作性。

二、问中巩技

巩固图与式

三（2）班也选派5人参加跳绳比赛 ，6人参加跑步比赛（如下表），参加这两项比赛的一共几人？

【引导1】请你整理画出维恩图，并列出相应的算式解决问题

【引导2】完成之后和同桌分享你的图和算式，说一说各部分含义，看看你俩是不是心有灵犀。

设计意图

该基础题面向全体学生，巩固画简图与算式，并且突出用规范语言说一说各部分含义。

开放思考

三（3）班也选派5人参加跳绳比赛 ，6人参加跑步比赛，但总人数和前面两班都不同，你有序想出所有的可能吗？

【引导】你的脑海中有相应的图和算式了吗？如果用左右手各自比划出的圆圈表示跳绳和跑步的两个集合，又会是怎样呢？会和黑板上的图一样吗？有困难的可以动手画一画。

【预设1】可能重复1人，图和黑板上的相似，只是换一下数字。只参加跳绳的：4人；既参加跳绳又参加跑步的：1人；只参加跑步的：5人。总人数是10人。

【预设2】可能重复2人，也是相似，总人数是9人。

教师更换重叠部分的板贴

【预设3】可能重复5人，但跑步的这个集合应该包含了跳绳整个集合，总人数是5 6—5=6（人）。

【引导】请你们用左右手的圈圈比划一下跳绳和跑步两个集合图的关系。

板书：包含的维恩图

【预设4】也有可能没有重复呀！0人，那总人数就是5 6=11（人），两个集合没有重叠部分，是分离的。

板书：分离的维恩图

设计意图

两个集合具有分离、相交、包含三种关系，该环节以例题为素材继续开发深挖分离和包含，不仅再次巩固图、式，更促进学生系统性感受三种关系、多角度思考问题。利用手指模拟维恩图，赋予课堂更多的活动组织方式，减少后场疲劳。

总结算法

【引导】对呀，这不就回到你们最初猜测的起点，但回顾这一路我们从最开始分类中发现了重复，想到画图重新表征信息，认识维恩图，最后解决了问题。这样解决问题的思考方法，能让我们带着它继续出发！

板书：画图→解决问题

现场统计

如果统计你们班爸爸抽烟喝酒情况，你爸爸会在图上哪个位置呢？

【引导1】：我们来统计一下人数 ，只抽烟……只喝酒……既抽烟又喝酒……，人数 怎么相加不是总人数？

【预设】有些同学的爸爸既不抽烟也不喝酒呀。

【引导2】：那既不……又不……的好爸爸应该在哪个位置呢？

【引导3】：维恩图在统计中发挥了很大的作用，不仅能帮助我们有条理地整理信息，还能找到解决问题的思路。它还有更多的秘密功能等着你开启呢！

设计意图

维恩图源于统计中整理信息、呈现集合之间关系的需要，新知后带领学生亲身经历统计，活用素材；并拓展性思考表达“既不……又不……”，引发学生更多的探索欲。

板书设计

总设计意图

1.以问题开启新知探索

激发学生内心的疑问是开启学生主动求知的动力源泉。本设计以趣味小问题 情境主问题“一共几人”，简单入手，诱发猜测和认知冲突。寻找解决方法的过程中，从自主表征信息到“创造”维恩图，一切水到渠成。

2.活用生成素材

课堂探索中，让素材从学生中来到学生中去 ，是最有感染力的新知催化剂。本设计以放手让学生画图到汇报交流作品，取代个别板演生成维恩图。不仅落实全体学生思考实践的教学目标，更重要的是引领集体的智慧碰撞交流，并且机动比较素材，沟通感悟 “分类、重复”的本质，凸显维恩图“不仅能呈现重复部分，而且能清晰看出总数”。

3.系统认识集合关系

集合有相交、包含、相离三种关系，本节重点在例题中认识有重叠部分的相交关系，但在此基础可以利用同类素材，“总人数还可能是几人”引领学生运用数形结合的方法，不同角度有序思考问题。如此对集合的不同情况不仅有了直观了解，并且实现了数学思维的拓展，拓宽学生知识面。

4.提炼学法

本节课时以解决问题为任务驱动探索，在习得新知掌握技能的同时，重视学法的感悟和总结。学生在课尾高潮解决问题的同时，回顾总结解决问题的经验，感悟分类的重要数学思想，深化画图的便利性，培养符号化思想和解决问题能力。