三元均值不等式的成立条件：

1.当a+b+c为定值时,三次方根(abc)有最大值为(a+b+c)/3 (当且仅当a=b=c是取等号)。

2.当abc为定值时,(a+b+c)/3 有最小值为三次方根(abc)。三次方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根（cube root).这就是说，如果x3=a,那么x叫做a的立方根。（注意：3√a中 的指数3不能省略，要写在根号的左上角。）

扩展资料：

常用定理

①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。

②如果不等式F（x）< G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。

③如果不等式F（x）<G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）<0，那么不等式F（x）<G（x）与不等式H (x)F（x）>H（x）G（x）同解。

④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：

（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则 

 ，且仅当B=0时取等号。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。