要求两个随机变量之商的概率密度，通常可以使用变量变换的方法。
设两个随机变量为 和 ，令 。
首先，通过求解 关于 和 的表达式，即 。
然后，根据变量变换的公式计算联合概率密度 。
接着，对联合概率密度 关于 积分，得到 的边缘概率密度 ，这就是两随机变量之商的概率密度。
但具体的计算过程会因 和 的概率分布类型（例如正态分布、均匀分布等）而有所不同，需要根据具体情况进行详细的推导和计算。
要求两个随机变量之商的概率密度，通常需要使用变量变换法（也称为雅可比变换法或链式法则）。这里，我们假设有两个随机变量
X
X 和
Y
Y，它们的联合概率密度函数为
f_{X,Y}(x,y)
f
X,Y
(x,y)，且
Y
Y 不为零（因为分母不能为零）。我们想要找到随机变量
Z = frac{X}{Y}
Z=
Y
X
的概率密度
f_Z(z)
f
Z
(z)。
步骤 1: 定义变量变换
首先，我们定义变量
Z
Z 和
Y
Y（或
X
X，但通常选择
Y
Y 作为独立变量，因为它在分母中）：
Z = frac{X}{Y}, quad Y = Y
Z=
Y
X
,Y=Y
步骤 2: 解出
X
X 和
Y
Y
从上面的定义中，我们可以直接解出
X
X：
X = ZY
X=ZY
步骤 3: 计算雅可比行列式
对于二维变换
(X, Y) ightarrow (Z, Y)
(X,Y)→(Z,Y)，雅可比矩阵
J
J 为：
J = egin{pmatrix} frac{partial X}{partial Z} & frac{partial X}{partial Y} frac{partial Y}{partial Z} & frac{partial Y}{partial Y} end{pmatrix} = egin{pmatrix} Y & Z 0 & 1 end{pmatrix}
J=(
∂Z
∂X
∂Z
∂Y
∂Y
∂X
∂Y
∂Y
)=(
Y
0
Z
1
)
雅可比行列式的绝对值为：
J = Y cdot 1 - Z cdot 0 = Y
∣J∣=∣Y⋅1−Z⋅0∣=∣Y∣
步骤 4: 应用变量变换公式
根据变量变换公式，随机变量
Z
Z 的概率密度
f_Z(z)
f
Z
(z) 为：
f_Z(z) = int_{-infty}^{infty} Y f_{X,Y}(zY, Y) , dY
f
Z
(z)=∫
−∞
∞
∣Y∣f
X,Y
(zY,Y)dY
注意，这里的积分范围可能需要根据
Y
Y 的实际取值范围进行调整。如果
Y
Y 的取值范围是
(a, b)
(a,b)（其中
a
a 和
b
b 可以是
-infty
−∞ 或
infty
∞），则积分应写为：
f_Z(z) = int_{a}^{b} Y f_{X,Y}(zY, Y) , dY
f
Z
(z)=∫
a
b
∣Y∣f
X,Y
(zY,Y)dY
注意事项
Y
Y 的非零性：确保
Y
Y 的取值范围不包括零，因为
Z
Z 的定义在
Y = 0
Y=0 时是未定义的。
联合概率密度的定义域：确保
f_{X,Y}(x,y)
f
X,Y
(x,y) 在积分区域内是非零的。
积分的收敛性：在某些情况下，积分可能不收敛，这取决于
f_{X,Y}(x,y)
f
X,Y
(x,y) 的具体形式。
结论
通过上述步骤，我们可以找到两个随机变量之商的概率密度。然而，这个过程通常涉及复杂的积分，并且结果可能难以以封闭形式表示，特别是当
f_{X,Y}(x,y)
f
X,Y
(x,y) 的形式较为复杂时。在实际应用中，可能需要使用数值方法或特定的概率分布假设来简化计算。
