先说一个直观的结论：边长3微米的10^12维正方体无法塞进一个半径1米的10^12维球体之中

这源于一个很简单的计算：n维单位球体可以容纳的最大正方体边长等于

这并不是因为球体在变得狭窄，球体总是圆润的，实际上是随着维度的增高，正方体变得越来越多刺；就拿边长为2米的正方体举例，当n=2时因为它是正方形，所以它的最远点距离中点 米；当n=3时，立方体的最远点距离中点 米；……；等到n增加到 ，一个 维的正方体，哪怕边长仍然是2米，它的对角线长度已经跨越了两光年，因此此时拿一个半径一光年的球都不足以遮住它的刺

前段时间在知乎别的问题下看到的

一维单位球体（线段）的长度是2
二维单位球体（圆）的面积是π
三维单位球体的体积是4/3π

可以进行推广，称n维单位球体为满足(x1)²+...+(xn)²≤1的点全体构成的集合
如果对n维单位球体测量体积，会发现随着n趋于无穷大，球体的体积趋于0

感觉好像有人误解了什么，稍微补充一下。这里并不是球体与外切立方体体积比值那么简单
单位正方体的定义是边长为1，而单位球定义是半径为1，直径为2，因此二者是彼此穿插的，并非一者嵌入另一者之内
单位球的外接正方体是边长为2的正方体，体积为2^n，因此即便单位球与外接正方体的体积比例趋于0也不能说明单位球的体积趋于0

还有，很多人跟我说单位不同无法比较。比如边长1分米的正方体，如果把单位换算为米，则随着n的增大分别是0.1米，0.01平方米，0.001立方米，...，数值趋于0；而如果把单位换算为厘米，则随着n的增大分别是10厘米，100平方厘米，1000平方厘米，...，数值趋于无穷大；

但是，球体有着本质的一点区别：

不论你使用什么样的单位，球体的体积数值永远趋于0

无论你指定一个多么小的 ，总会有一个足够大的n，使得边长 的n维正方体体积超过n维单位球体的体积（这个结论比前一个结论强）

最后再说个无聊的……

√2是整数

这是因为代数学里有一个名词叫作“代数整数”，并且“代数整数”可以简称为“整数”

所谓代数整数就是整数环上首一多项式的根，√2是x²-2=0的根，因此是代数整数，也就是整数

没错，这只是个无聊的文字游戏而已