三角函数的反函数指的是以三角函数为自变量的函数，通过该函数可以得到特定角度的正弦、余弦、正切等值。
以正弦函数为例，假设表示正弦函数的反函数为arcsin(x)，则有以下关系：
sin(arcsin(x)) = x，其中x为实数且-1 ≤ x ≤ 1。
我们需要推导出arcsin(x)的具体表达式，来表示它与sin函数的关系。
设角度A满足sin(A) = x，其中-π/2 ≤ A ≤ π/2。
首先，我们可以得到sin(A) = x，然后通过将A的定义扩展到整个实数轴的方式，我们可以得到：
sin(π/2 - A) = x（将A替换为π/2 - A）
由此可以得到：
A = π/2 - arcsin(x)
所以，我们可以得到正弦函数的反函数arcsin(x)的具体表达式为：
arcsin(x) = π/2 - A，
其中A满足sin(A) = x，且-π/2 ≤ A ≤ π/2。
同样的方式，我们也可以推导出余弦函数的反函数arccos(x)和正切函数的反函数arctan(x)的具体表达式。

三角函数的反函数是指对于给定的三角函数值，求出相应的角度。以正弦函数为例，反正弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]，表示为arcsin(x)。反正弦函数的推导过程是通过求解正弦函数的方程y=sin(x)，将x表示为y的函数，再通过限制函数的定义域和值域得到反函数。在求解过程中，需要使用三角函数的性质和三角恒等式，例如sin^2x+cos^2x=1。反函数的引入可以方便地解决一些与三角函数相关的问题，如角度的计算和三角方程的求解等。