常用数学公式汇总

一、基础代数公式

1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b2

2. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2

完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2 ab b2)

3. 同底数幂相乘: am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）

同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）

a0＝1（a≠0）

a-p＝ （a≠0，p为正整数）

4. 等差数列：

（1）sn ＝ ＝na1 n(n-1)d；

（2）an＝a1＋（n－1）d；

（3）n ＝ ＋1；

（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a b；

（5）若m n=k i，则：am an=ak ai ；

（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）

5. 等比数列：

（1）an＝a1q－1；

（2）sn ＝ （q 1）

（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；

（4）若m n=k i，则：am??an=ak??ai ；

（5）am-an=(m-n)d

（6） ＝q(m-n)

（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）

6.一元二次方程求根公式：ax2 bx c=a(x-x1)(x-x2)

其中：x1= ；x2= （b2-4ac 0）

根与系数的关系：x1 x2=- ，x1??x2=

二、基础几何公式

1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两

边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；

（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。

（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。

（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

（5）内心：角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等。

重心：中线的交点叫做重心；重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。

垂线：高线的交点叫做垂线；三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。

外心：三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。外心到三角形的三个顶点的距离相等。

直角三角形：有一个角为90度的三角形，就是直角三角形。

直角三角形的性质：

（1）直角三角形两个锐角互余；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；

（5）直角三角形中，c2＝a2＋b2（其中：a、b为两直角边长，c为斜边长）；

（6）直角三角形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线；

直角三角形的判定：

（1）有一个角为90°；

（2）边上的中线等于这条边长的一半；

（3）若c2＝a2＋b2，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形；

2. 面积公式：

正方形＝边长×边长；

长方形＝ 长×宽；

三角形＝ × 底×高；

梯形 ＝ ；

圆形 ＝ R2

平行四边形＝底×高

扇形 ＝ R2

正方体＝6×边长×边长

长方体＝2×（长×宽＋宽×高＋长×高）；

圆柱体＝2πr2＋2πrh；

球的表面积＝4 R2

3. 体积公式

正方体＝边长×边长×边长；

长方体＝长×宽×高；

圆柱体＝底面积×高＝Sh＝πr2h

圆锥 ＝ πr2h

球 ＝

4. 与圆有关的公式

设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：

（1）d﹤r：点在圆内（即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合）；

（2）d＝r：点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）；

（3）d﹥r：点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）；

线与圆的位置关系的性质和判定：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么：

（1）直线 与⊙O相交：d﹤r；

（2）直线 与⊙O相切：d＝r；

（3）直线 与⊙O相离：d﹥r；

圆与圆的位置关系的性质和判定：

设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：

（1）两圆外离： ；

（2）两圆外切： ；

（3）两圆相交： （ ）；

（4）两圆内切： （ ）；

（5）两圆内含： （ ）．

圆周长公式：C＝2πR＝πd （其中R为圆半径，d为圆直径，π≈3.1415926≈ ）；

的圆心角所对的弧长 的计算公式： ＝ ；

扇形的面积：（1）S扇＝ πR2；（2）S扇＝ R；

若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧＝πr ；

圆锥的体积：V＝ Sh＝ πr2h。

三、其他常用知识

1． 2X、3X、7X、8X的尾数都是以4为周期进行变化的；4X、9X的尾数都是以2为周期进行变化的；

另外5X和6X的尾数恒为5和6，其中x属于自然数。

2． 对任意两数a、b，如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＜0，则a＜b；如果a－b＝0，则a＝b。

当a、b为任意两正数时，如果a/b＞1，则a＞b；如果a/b＜1，则a＜b；如果a/b＝1，则a＝b。

当a、b为任意两负数时，如果a/b＞1，则a＜b；如果a/b＜1，则a＞b；如果a/b＝1，则a＝b。

对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值C，如果

a＞C，且C＞b，则我们说a＞b。

3． 工程问题：

工作量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间；

工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；

注：在解决实际问题时，常设总工作量为1。

4． 方阵问题：

（1）实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2

最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4

（2）空心方阵：中空方阵的人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2

＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。

例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？

解：（10－3）×3×4＝84（人）

5． 利润问题：

（1）利润＝销售价（卖出价）－成本；

利润率＝ ＝ ＝ －1；

销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝ 。

（2）单利问题

利息＝本金×利率×时期；

本利和＝本金＋利息＝本金×（1 利率×时期）；

本金＝本利和÷（1 利率×时期）。

年利率÷12=月利率；

月利率×12=年利率。

例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”

解：用月利率求。3年=12月×3=36个月

2400×（1 10．2％×36） =2400×1．3672 =3281．28（元）

6． 排列数公式：P ＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）

组合数公式：C ＝P ÷P ＝（规定 ＝1）。

“装错信封”问题：D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，

7. 年龄问题：关键是年龄差不变；

几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄

几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差

8. 日期问题：闰年是366天，平年是365天，其中：1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。

9. 植树问题

（1）线形植树：棵数＝总长 间隔＋1

（2）环形植树：棵数＝总长 间隔

（3）楼间植树：棵数＝总长 间隔－1

（4）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段

10. 鸡兔同笼问题：

鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

（一般将“每”量视为“脚数” ）

得失问题（鸡兔同笼问题的推广）：

不合格品数＝（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数 每只不合格品扣分数）

＝总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数 实得总分数）÷（每只合格品得分数 每只不合格品扣分数）

例：“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”

解：（4×1000-3525）÷（4 15） =475÷19=25（个）

11．盈亏问题：

（1）一次盈，一次亏：（盈 亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（2）两次都有盈： （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数

（3）两次都是亏： （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（4）一次亏，一次刚好：亏÷（两次每人分配数的差）=人数

（5）一次盈，一次刚好：盈÷（两次每人分配数的差）=人数

例：“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”

解（7 9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数

10×8-9=80-9=71（个）………………桃子

12.行程问题：

（1）平均速度：平均速度＝

（2）相遇追及：

相遇（背离）：路程÷速度和＝时间

追及：路程÷速度差＝时间

（3）流水行船：

顺水速度＝船速＋水速；

逆水速度＝船速－水速。

两船相向航行时，甲船顺水速度 乙船逆水速度=甲船静水速度 乙船静水速度

两船同向航行时，后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。

（4）火车过桥：

列车完全在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度

列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度

（5）多次相遇：

相向而行，第一次相遇距离甲地a千米，第二次相遇距离乙地b千米，则甲乙两地相距

S＝3a-b（千米）

（6）钟表问题：

钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及

时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o22次。

13．容斥原理：

A＋B=

A B C= -

其中， ＝E

14．牛吃草问题：

原有草量＝（牛数－每天长草量）×天数，其中：一般设每天长草量为X