欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言)科学体系。它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,欧洲数学2000年发展史，几乎有四分之三的时间里欧氏几何一统天下，对科学和哲学的影响极其深远。直到魏尔斯特拉斯发起的分析算术化运动使代数从欧氏几何中完全脱离以及非欧几何的诞生才结束了欧氏几何的统治地位。

其中，非欧几何的诞生影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展，今天我们就来谈一下非欧几何与发展。

欧几里得的《几何原本》标志着非欧几何的诞生，在《几何原本》里，欧几里得给出了 23 条定义、5条公理、5条公设，由此推证出48个命题。公理是指在任何数学学科里都适用的不需要证明的基本原理，公设则是几何学里的不需要证明的基本原理。近代数学则对此不再区分，都称“公理”。

这五大公设中，由于第五公设的内容和叙述比前四条公设复杂，所以引起后人的不断研究和探讨。

因为前四条公设都可以用《几何原本》中的其余公设、公理和推论证明，而人们始终相信欧氏几何是物理空间的正确理想化，所以众多数学家就尝试用前4个公设、5个公理以及由它们推证出的命题来证明第五公设，然而都没有成功。

第五公设难题：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。

论证的不成功引发了数学家的疑义，数学界由此开始了对“第五公设难题”的讨论。

数学家还尝试用更简单、明畅的语言来叙述这条公设，从而更好地理解它并解决它，古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就曾经试图重现陈述它，然而这些替代性陈述效果并不比原来的文字更好。直到 18 世纪普莱菲尔才算总结出一个比较简单的替代性公设：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”。 （我们中学教材就常用这个叙述形式来替代第五公设。）

从公元前三世纪一直到公元十八世纪期间，近 2000 年的时光过去，整个数学体系已经初具雏形。继解析几何和微积分诞生之后，新的数学分支纷纷脱颖而出。无数困难问题得以解决。许多数学家创立了复杂艰深的数学理论。但是人们在看上去极其简单的第五公设问题面前却仍然一筹莫展。法国数学家达朗贝尔在1759年无奈宣称：第五公设问题是“几何原理中的家丑”。