蒙特卡洛法是利用随机性来解决物理学、经济学、数学等多个领域的问题。如果运用得当，随机性可以为确定性问题提供比较完美的结果。

这篇文章，我将使用蒙特卡洛法来近似一些积分的值，这些积分不能用解析方法计算。有些积分的计算很简单，比如

那么如果是下面的积分呢

这时，我们可以用蒙特卡洛法近似这个积分的值。为了理解蒙特卡洛积分的原理，我们需要先了解大数定律。

大数定律

假设一位健身教练遇到了一个问题，他需要确定一个班级中所有学生的平均体重。假设这个班的人数是100人，所有的学生都是18岁。开始测量时，她从班上随机挑选5名学生，测量他们的体重并取平均值。

这5名学生的平均体重为45公斤，这对于整个班级的平均值而言要轻了不少。因为随机挑选的这5个学生的体重都过轻，他们的平均体重并不能很好地描述（代表）整个班级学生的平均体重。

于是教练重新挑选学生，但这一次，他不是随机选择5个学生，而是15个学生。他们的平均体重是67公斤。根据她的经验，她怀疑这个平均值不具代表性。她分析了这15名学生的锻炼情况，发现大约有10名学生缺乏体育锻炼，体重超标。然而，15个学生的平均体重更接近整个班级的真实平均体重。

让我们用数学方法来模拟这个问题。假设X_n是随机选择的n个学生的体重的集合，称为样本。X_n上方的横杠表示这些体重的平均值。下面是X_4的一个例子，