几乎每个人都知道集合是什么，甚至是孩子。它们是许多人认为他们“只知道”的概念之一，即使他们无法正确定义它。这是因为我们在日常生活中每天都使用布景，没有布景就很难正常工作。例如，您可能会将集合视为一群朋友、书架上的一组书籍或工具箱中的一组工具。

但是，让一个普通人来定义什么是集合，就会出现问题。他们可能将其定义为一组对象、想法或生物。好吧，那什么是群呢？该定义最终可能会变成一个充满循环逻辑的兔子洞。

问题是集合的概念本身是一个相当抽象的概念，没有物理形式。集合是一个基本的数学概念，几乎是所有现存数学“类型”的核心。

由于他们的天性，他们非常强大和多才多艺。无论您是经验丰富的数学家还是刚刚开始探索数学世界，集合都是您需要了解的基本概念。

那么，让我们深入了解集合的世界，发现是什么让它们不仅在数学世界，而且在您的生活中成为如此重要的工具！

我将避免深入探讨公理化理论，而只是简单地说明集合是不同元素的集合。事实上，描述一个集合的唯一方法是完整而明确地描述它的所有元素。在数学中，我们通常用大写字母表示集合：

A

和带有小写字母的元素。例如，如果 x 是 A 的一部分，我们将按以下方式编写。

x∈A _ _

这个符号 ∈ 的意思是“是...的成员”。

集合通常通过将元素括在花括号中来表示，例如 {1, 2, 3} 是包含数字 1、2 和 3 的集合。集合在数学中广泛使用，从描述方程的解，到图上的点到组的成员。

子集是包含在另一个集合中的集合。令A和B为集合。如果A的每个元素也是B的元素，则我们说A被B包含。了解这一点很重要。

具体来说，在这种情况下，A 是 B 的子集。或者：

A ⊆ B或B ⊇ A

这里有一个有用的记忆技巧：标志的“嘴巴”从哪条路出来就是子集。

有趣的事实：用 ∅ 表示的空集是每个集合的子集。的证明可能有点令人困惑，所以我不会在这里包括它，但如果您对集合感兴趣，请务必记住这一点以备后用。

那么，我们如何从数学上说两个集合是等价的呢？

如果A和B是集合，并且A = B，则A ⊆ B和B ⊆ A

用简单的英语来说，如果两个集合相等，那么它们是彼此的子集。这称为集合相等性原则，在所有类型的证明中都非常有用。

最后要记住的一件事：

如果A和B是集合且A ⊆ B但A ≠ B，则A是B的真子集，我们可以写为A ⊂ B。

并非所有集合在数学中都具有相同的权重，有些集合重要到足以附上自己独特的符号。这些是每个数学爱好者都应该知道的 VIP：

N — 自然数集（正整数，包括ISO 80000–2定义的零）

Z — 整数集（正整数和负整数，包括零）

Q — 有理数集（可写为 m/n，其中 m、n ∈ Z且 n ≠ 0）

R — 实数集（Q加上所有无理数。这个集比Q大很多很多）。

C — 复数集（R 加上带有虚部的数）

你可能已经猜到了，

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

集合是数学中最基本的概念之一，理解它们对于任何有兴趣探索这个世界的人来说都是至关重要的。

除了直观易懂之外，它们现在比以往任何时候都更加相关。从数据分析和密码学到人工智能和机器学习，它们被广泛用于现代应用。

所以，让我们拥抱集合的力量，用它们来解开宇宙的秘密吧！有了它们在我们的工具包中，可能性是无限的，而我们的旅程才刚刚开始。