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分堆问题

如果做个小调查，问问大家，在备考数学的过程中，最头疼的是哪一块，不用说，排列组合肯定榜上有名。今天，我们准备专攻排列组合中常考的一种题。这类题常常以各种形式出现，n个不同的球放入m个相同的盒子，有几种放法？n本不同的书，分给m个人，有多少种分法？(条件：n>=m)

还有很多种变体，m本不同的书分给n个同学，每个人至少分得一本书，有多少种分法？

相信很多同学，被这个类型的题目，搞得晕头转向的。今天我们就用一篇专题来着重解决这个问题。

这类问题一共有8种情况

1、n个相同的球，放入m个相同的盒子，无空盒。

2、n个相同的球，放入m个相同的盒子，可以有空盒。

3、n个相同的球，放入m个不同的盒子，无空盒。

4、n个相同的球，放入m个不同的盒子，可以有空盒。

5、n个不同的球，放入m个相同的盒子，无空盒。

6、n个不同的球，放入m个相同的盒子，可以有空盒。

7、n个不同的球，放入m个不同的盒子，无空盒。

8、n个不同的球，放入m个不同的盒子，可以有空盒。

为方便分析， 设n=8，m=3

01

球相同，盒子相同，无空盒

解析 ：球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个. 由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆. 即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个， 有五种不同的放法.

But，考试不会考这么简单的题。

结论：ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n≥m），不能有空盒时的放法种数等于ｎ分解为ｍ个数的和的种数.

02

球相同，盒子相同，可以有空盒

解析：与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中.，有十种不同的放法.

结论：ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n≥m），可以有空盒时的放法种数等于将ｎ分解为ｍ个、(ｍ－1)个、(ｍ－2)个、…、2个、1个数的和的所有种数之和.

03

球相同，盒子不同，无空盒

解析：这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法. 将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有C2 7 = 21种，这样将8个球分成三堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内. 故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法.

结论：ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），不能有空盒的放法数

.

04

球相同，盒子不同，可以有空盒

解析：还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板. 首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有

种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有

种，但这两种放法中有重复的，要除以2；最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中. 故一共有