裂项求和公式根号型（裂项法求和的正确方法）

一、引言数学解题能力一方面体现在精细的计算上，另一方面体现在粗略的估算上。先阅读观察下面两道数列试题：（1）、

裂项求和公式根号型,裂项法求和的正确方法(1)

（2）

裂项求和公式根号型,裂项法求和的正确方法(2)

它们的特点：（1）中数列的通项公式求不出，需估算数列前100项和的取值区间；（2）中数列的通项公式能求出an=1/（n 1），但求不出数列的前n项的和，也需要估算前n项和的取值。二、问题上述两试题，一言以蔽之，数列前n项和在求不出的情况下如何估算它的取值？1、精细运算是基础（1）、（2）两试题中的数列都是用递推公式给出的，都需要进行一些合理的恒等变形，获得简洁明了的结果。比如（2）中数列递推公式变为：1/an-1/an-1=1，从而求得数列的通项公式an=1/（n 1）。（1）中数列的递推公式变为：1/根号an 1-1/根号an=1/an。这些都是进行估算的基础，也就是说这些是我们要进行不等变换的对象。2、估算要有方向、目标从结论中寻找方向、目标。比如（1）中s100有上、下界就是方向、目标。由a1=1，得a2=1/4，得s2=5/4，由正项数列，得s100大于s2，从而，排除A、B选选。首项为1，公比为1/4，的数列无穷项和等于1/（1-1/4）=4/3是界，于是由把数列的递推公式经不等变换成等比数列的递推公式（见后面解答）。比如（2）中，所要证明的不等式的右边：隐含着裂项相消法的结果，其裂项公式1/（n 1）=1/根号n-1/根号（n 1），可以证明（见后面解答）一句话：把没有通项公式的数列的递推公式放缩成有通项公式的数列的递推公式（如，等差数列、等比数列等）；把不能求和的数列的通项公式放缩成能求和的数列的通项公式，从而实现估算。三、问题的解

1、

裂项求和公式根号型,裂项法求和的正确方法(3)