中考几何压轴 107 几何与函数 三线段构成三角形 条件

这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。

题 114. 《三线段构成三角形的条件》

如图1，抛物线y＝ax²－2ax＋a＋4经过A(-1,0)，且与x正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接AC，直线L过点B、C。

[1]. 填空：a＝（－1）；直线L的函数表达式为：（ y＝－x＋3）。

[2]. 已知直线x＝t平行于y轴，交抛物线及x轴于点P、G。当1＜t＜3时（如图2），直线x＝t与线段BD、BC分别相交于点E、F，试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形；

[3]. 在[2]的条件下，如果此等腰三角形的顶角是∠ACO的2倍，请求出此时t的值。

〖一般性提点〗

[1]. 三条线段可构成三角形的充要条件就是三角不等式：任意两边之和大于第三边；或者它的推论：任意两边之差，小于第三边。

对于等腰三角形，只要验证两腰之和大于底边就可以。

[2]. 本题需要分析透彻等腰三角形的内角和∠ACO＝α的关系。

〖题目分析〗

[1]. 将A点坐标代入抛物线表达式，解得a＝－1，进而可解得B(0,3)，C(0,3)；

因此L的函数表达式为y＝－x＋3

另，抛物线解析式：

y＝－x²＋2x＋3

[2]. 计算诸线段长度（含参数t）并判断是否构成等腰三角形

从几何知识，易知：

FG＝BG＝3－t,其中1＜t＜3

EG＝2BG＝6－2t，

EF＝EG－FG＝BG＝FG

另PG的长度＝点P的纵坐标数值：

PG＝－t²＋2t＋3

从而：

PE＝PG－EG＝－t²＋4t－3

＝－(t－2)²＋1＞0，当0＜t＜3时；

另考察是否满足三角不等式：

EF＋FG－PG

＝6－2t＋t²－4t＋3

＝(t－3)²＞0，当0＜t＜3时；即

EF＋FG＞PG，且EF＝FG

∴ PE、EF、FG总能构成等腰三角形：其中PG为底，EF＝EG为腰；

[3].计算参数t的值

记∠ACO＝α

如图是由上述三条线段组成的等腰三角形，依据题设的角度线段分析亦示于图中：其中，MQ⊥NK于点Q；

得：PE/EF＝ MN/KM＝√10/5

即：

(－t²＋4t－3)/( 3－t)＝√10/5

解得：t＝1＋√10/5

如果记得12345模型，知tanα＝1/3 ☞tan2α＝3/4；亦可由公式tan2α＝2tanα/(1－tan²α)计算得出。