1.5　全称量词与存在量词

1.5.1　全称量词与存在量词

1．全称量词与全称量词命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．

(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．

2．存在量词与存在量词命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．

(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．

思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．

提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．

3．含有一个量词的命题的否定﹁

一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：

全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；

存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．

全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．

1．下列命题中全称量词命题的个数是(　　 )

①任意一个自然数都是正整数；

②有的菱形是正方形；

③三角形的内角和是180°.

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

[答案]　C

2．下列全称量词命题为真命题的是(　　 )

A．所有的质数是奇数

B．∀x∈R，x2＋1≥1

C．对每一个无理数x，x2也是无理数

D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5

[答案]　B

3．下列命题中的假命题是(　　 )

A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0

C．∃x∈R，x＋2019<1 D．∃x∈R,2x＞2

B　[当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．]

4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是(　　 )

A．￢p：∃x∈R，sin ≥1

B．￢p：∀x∈R，sin x≥1

C．￢p：∃x∈R，sin x＞1

D．￢p：∀x∈R，sin x＞1

[答案]　C

全称量词命题和存在量词命题的判断

【例1】　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．

(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；

(2)存在一个x∈R，使＝0；

(3)对任意实数a，|a|＞0；

(4)有一个角α，使sin α＝.

[解]　(1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．

(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．

(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．

(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．

全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).

(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.

1. 判断下列命题的真假．

(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；

(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(4)∀x∈N，x2>0.

[解]　(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．

(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，

所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．

(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．

含有一个量词的命题的否定

【例2】　(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　 )

A．∀n∈N，n2>2n　　 B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n

(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　 )

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

(1)C　(2)D　[(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，￢p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.

(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]

含有一个量词的命题的否定的方法

(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．

(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．

2．写出下列命题的否定并判断其真假：

(1)p：∀x∈R，2≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；

(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.

[解]　 (1) ￢p：∃x∈R，2＜0，假命题．

因为∀x∈R，2≥0恒成立，所以￢p是假命题．

(2) ￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(3) ￢r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．

因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以￢r是真命题．

(4) ￢s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以￢s是假命题．

全称量词命题与存在量词命题的应用

【例3】　对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．

[解]　令y＝x2＋4x－1，x∈R，

则y＝(x＋2)2－5，

因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，

所以只要m<－5即可．

所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．

求解含有量词的命题中参数范围的策略

(1) 对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或a＜ymin).

(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或a＜ymax).

3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　 )

A．m≥1　　　 B．m＞1

C．m＜1 D．m≤1

B　[命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.故选B.]

1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．

2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．

3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．

1．思考辨析

(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．(　　)

(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．(　　)

(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．下列存在量词命题中，是假命题的是(　　 )

A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0

B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除

C．有的三角形没有外接圆

D．某些四边形不存在外接圆

C　[A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题．只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C.]

3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　 )

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

B　[量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.]

4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．

(1)对某些实数x，有2x＋1>0；

(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；

(3)∃x∈Q，x2＝3.

[解]　(1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题．

(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题．

把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．

(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题．

由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．