对于幂函数f(x)等于x的n次方，如果它的指数n为偶数，则f(x)为偶函数；如果指数n为奇数，则f(x)为奇函数。那么奇偶性和幂函数有什么联系呢？

实际上，奇偶性名称就来自于幂函数的指数，指数为奇数的幂函数就是奇函数，指数为偶数的幂函数就是偶函数。以前北师大版教材的必修1把奇偶性放在幂函数一节，就有这方面的考虑。

反过来，同学们可以从命名中发现幂函数的图像对称性和变化规律。实际上，只要掌握了奇偶性的规律，我们也可以自己构造奇函数或偶函数。我们有如下结论：

一、结论1

设f(x)为定义域为R的任意函数，则可构造函数g(x)=1/2[f(x)-f(-x)]和函数h(x)=1/2[f(x) f(-x)]，则g(x)为奇函数，h(x)为偶函数。

（一）证明

由f(x)定义域为R，容易得到g(x)和h(x)的定义域也均为R。

则g(-x)=1/2[f(-x)-f(x)]= -1/2[f(x)-f(-x)]=-g(x)

h(-x)=1/2[f(-x) f(x)]=h(x)

根据定义可得，g(x)为奇函数，h(x)为偶函数。

利用这个结论，可以迅速解决一些奇偶性问题。

（二）例题

例1：a为常数，判断下列函数的奇偶性。

(1) f(x)＝|x＋a|－|x－a|

(2) g(x)＝|x＋a|＋|x－a|

解：设函数h(x) ＝ |x＋a|，则h(－x) ＝ |－x＋a|＝|x－a|，

则f(x) ＝|x＋a|－|x－a|＝h(x) －h(－x)，

g(x) ＝|x＋a|＋|x－a|＝h(x) ＋h(－x)

根据上述结论，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数。

说明：f(x)＝|x＋a|－|x－a|和g(x)＝|x＋a|＋|x－a|是典型的绝对值型奇函数和偶函数。例1是利用任意一个函数构造出一个奇函数和一个偶函数，反过来，我们有第二个结论。

二、结论2

任意一个定义在R上的函数都可以写成唯一一个奇函数和一个偶函数的和。

（一）证明

设函数f(x)定义域为R，且f(x)=g(x) h(x)，且g(x)为奇函数，h(x)为偶函数。

则g(-x)=-g(x)，h(-x)=h(x)，

则f(-x)=g(-x) h(-x)=-g(x) h(x)①

又f(x)=g(x) h(x)②

由①②解得g(x)=1/2[f(x)-f(-x)]，h(x)=1/2[f(x) f(-x)]。

故任意一个定义在R上的函数都可以写成唯一一个奇函数和一个偶函数的和。

（二）例题

说明：本题解法（1）看起来更简单。我们换一下条件，如果求f(2)＋g(1)的值，那么此时解法（1）的方法就失效了，但是利用解法（2）仍然可以迅速求出结果，得到f(2)＝16＋1＝17，g(1)＝－1，f(2)＋g(1)＝16。

更进一步，对于含参数的问题，解法（2）也有奇效。我们看下面一个例子。

说明：奇函数＋常数(c)是一类非常有趣的函数，虽然此函数非奇非偶，既不关于原点对称，也不关于y轴对称，但是根据上加下减原则，函数图像上、下移动了，对称中心由(0，0)变为，(0，c)，则由对称原理，我们有第三个论：

三、结论3

定义在R上的函数f (x)＝g(x)＋c，g(x)是奇函数，则有：f(x)＋f(－x)＝2c，图象关于(0，c)对称。

(一)例题

总结：任一个定义域为R的函数都可以构成成唯一一对奇函数和偶函数的和。那么，如果f(x)本身就是奇函数或偶函数，怎么分解成一个奇函数和一个偶函数的形式呢？

实际上，有一个函数f(x)=0（x∈R），既是奇函数也是偶函数。则对于奇函数g(x)来说，可以构造出g(x)= g(x) 0，满足一个奇函数和一个偶函数之和的形式；同理，对于偶函数h(x)，可以构造出h(x)=h(x) 0，也满足一个奇函数和一个偶函数之和的形式。