如果问初一学生有理数哪部分内容最难，相信很多学生会回答，绝对值！今天让我们一起梳理绝对值的知识点和解题方法，帮学生轻松攻克绝对值！

绝对值有两个意义：

（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。即|a|＝a（当a≥0） , |a|＝－a （当a＜0）

（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

灵活应用绝对值的基本性质：

（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；

点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a－b|，利用绝对值的距离公式找最小值，是考试中的一个难点。现在跟随老师的脚步，从特色到一般出发，一起探究做此题的套路吧，这一类题就都可以解决啦！

【问题提出】|a﹣1| |a﹣2| |a﹣3| … |a﹣2019|最小值是多少？

【阅读理解】

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a﹣1| |a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究|a﹣1| |a﹣2|的最小值．

我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：

（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．

（2）如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．

（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．

【问题解决】

（1）|a﹣2| |a﹣5|的几何意义是______．请你结合数轴探究：|a﹣2| |a﹣5|的最小值是_____．

（2）|a﹣1| |a﹣2| |a﹣3|的几何意义是_____．请你结合数轴探究：|a﹣1| |a﹣2| |a﹣3|的最小值是 ______，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a为 ______．

（3）求出|a﹣1| |a﹣2| |a﹣3| |a﹣4| |a﹣5|的最小值．

（4）求出|a﹣1| |a﹣2| |a﹣3| … |a﹣2019|的最小值．

【拓展应用】

请在图⑤的数轴上表示出a，使它到2，5的距离之和小于4，并直接写出a的范围．

【分析】（1）根据绝对值的几何意义结合数轴即可求解；

（2）由题意可得出，取中间值a＝2时，求得最小值；

（3）由题意可得出，取中间值a＝3时，求得最小值；

（4）由题意可得出，取中间值a＝1010时，求得最小值．

【解答】（1）|a﹣2| |a﹣5|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；

当a在5和2之间时（包括在5，2上），