【题】 如右图 ,用函数法证明1/u 1/v=1/f。
【解】右图为凸透镜成像示意图。
其中c为成像的物体长度,d为物体成的像的长度。u为物距,v为像距,f为焦距。
步骤
(一)为便于用函数法解决此问题,将凸透镜的主光轴与平面直角坐标系的横坐标轴(x轴)关联(即重合),将凸透镜的理想折射面与纵坐标轴(y轴)关联,将凸透镜的光心与坐标原点关联。则:点A的坐标为(-u,c),点F的坐标为(f,0),点A'的坐标为(v,-d),点C的坐标为(0,c)。
(二)将AA’,A'C双向延长为直线l1,l2,视作两条函数图象。由图象可知:直线l1为正比例函数图象,直线l2为一次函数图象。
(三)设直线l1的解析式为y=k1x,直线l2的解析式为y=k2x b
依题意,将A(-u,c),C(0,c),F(f,0)代入相应解析式得方程组:
c=-u·k1
c=b
0=k2f b
把k1,k2当成未知数解之得:
k1=-(c/u), k2=-(c/f)
∴两函数解析式为:
y=-(c/u)x, y=-(c/f)x c
∴两函数交点A'的坐标(x,y)符合方程组
y=-(c/u)x
y=-(c/f)x c
∵A'(v,-d)
∴代入得:
-d=-(c/u)v
-d=-(c/f)v c
∴-(c/u)v=-(c/f)v c=-d
∴(c/u)v=(c/f)v-c=d
cv/u=(cv/f)-c
fcv=ucv-ucf
fv=uv-uf
∵uvf≠0
∴fv/uvf=(uv/uvf)-(uf/uvf)
∴1/u=1/f-1/v
即:1/u 1/v=1/f
规律记忆
一、
1.u>2f,倒立缩小的实像 f<v<2f 照相机
简记为:外中倒小实(或物远像近像变小)
2.u=2f, 倒立等大的实像 v=2f 可用来测量凸透镜焦距
简记为:两两倒等实(或物等像等像不变)
3.2f>u>f 倒立放大的实像 v>2f 放映机,幻灯机,投影机
简记为:中外倒大实(或物近像远像变大)
4.u=f 不成像 平行光源 探照灯
简记为:点上不成像(或物等焦距不成像)
5.u<f正立放大的虚像 无 虚像在物体同侧 放大镜
简记为:点内正大虚(或物小焦距像大虚)
注:u大于2f简称为远——离凸透镜远一些;
u小于2f且大于f简称为近——离凸透镜近一些
二、
物三像二 小实倒 物二像三 倒大实 物与像同侧正大虚
物近像远像变大,物远像近像变小,1倍焦距分虚实,2倍焦距分大小。
三、
二环外①,拾到②小相机。
一二环间,拾到大投影。
一环内, 打③假④正经⑤。
注解:①二环外:二倍焦距以外
②拾到:拾,实(实像。 到,倒(倒立) 应用:照相机
③打:放大
④假,虚(虚像)
⑤经,放大镜
应用例题
例1 老奶奶用放大镜看报时,为了看到更大的清晰的像,她常常这样做( )
A.报与放大镜不动,眼睛离报远些
B.报与眼睛不动,放大镜离报远一些
C.报与放大镜不动,眼睛离报近一些
D.报与眼睛不动,放大镜离报近一些
解析:放大镜是凸透镜,由凸透镜成像实验可以看出,当物体在一倍焦距以内的时候,物距越大,像距越大,像也越大。也可从成像原理得出结论,平行于主轴的光线不变,而随着物体的远离透镜,过光心的光线越来越平缓,所以两条光线的反向延长线交点就离透镜越远,像就越大。也就是在一倍焦距以内的时候,物体离焦点越近,像越大。所以答案为B。
例2 小明拿着一个直径比较大的实验用的放大镜,伸直手臂观看远处的物体,他可以看到物体的像,下面说法中正确的是( )
A.射入眼中的光一定是由像发出的
B.像一定是虚像
C.像一定是倒立的
D.像一定是放大的
解析:放大镜是凸透镜,在手拿凸透镜,并伸直了手臂看远处的物体时,物距远大于两倍焦距,所以会成像在手内侧稍大于一倍焦距处。而人的眼睛在一个手臂以外,所以进入人眼的光线肯定是折射光线汇聚成像后再分开的光线,我们看到就好像是从像发出的。这个像肯定是倒立缩小的实像。所以答案是C。而选项A中并非所有进入人眼的光线都是从像发出来的。
例3 在农村放映电影,试镜头时,发现屏上的影像小了一点,应当怎样调整放映机( )
A.放映机离屏远一些,胶片离镜头远一些
B.放映机离屏远一些,胶片离镜头近一些
C.放映机离屏近一些,胶片离镜头远一些
D.放映机离屏近一些,胶片离镜头近一些
解析:这是一道凸透镜的应用题,电影放映机镜头(凸透镜)的焦距是不变的,根据凸透镜成像规律,胶片距透镜焦点的距离越近,屏上成的像越大,同时,屏离透镜越远。
凸透镜成像,物体越靠近焦点,成的像越大,此时像离凸透镜越远(实像、虚像都有这个规律)。反过来,物体离凸透镜越远,成的实像越小,像越靠近焦点。凹透镜成像,物体体离凹透镜越远,所成的像越小,像越靠近虚焦点。
从上述分析可知,本题的正确选项为B。
例4 某同学拍毕业合影后,想拍一张单身像。摄影师应采取的方法是( )
A.使照相机靠近同学,同时镜头往后缩,离胶片近些
B.使照相机靠近同学,同时镜头往前伸,离胶片远些
C.使照相机远离同学,同时镜头往后缩,离胶片近些
D.使照相机远离同学,同时镜头往前伸,离胶片远些
解析:照相机镜头相当于一个凸透镜。镜头后是暗箱,胶片装在暗箱底部,胶片相当于光屏;当拍完合影后,再拍单身像,像要变大。成像时要使像变大,物距应减小,同时增大像距,即拉长暗箱或使镜头前伸。从上述分析可知,本题的正确选项为B。
例5 用照相机拍摄水池底部的物体时,若保持照相机的位置不变,比较池中有水和无水两种情况(假设两种情况下,人眼看到的物体等大),则有水时( )
A.暗箱应略短一些,得到的像会略大些
B.暗箱应略短一些,得到的像会略小些
C.暗箱应略长一些,得到的像会略大些
D.暗箱应略长一些,得到的像会略小些
解析:根据照相机成像原理,当物距减小时,像距变大,要在胶片上得到物体清晰的像,应将暗箱适当缩短一些,同时,胶片上的像将比原来的像略大一些。
本例中,池水中有水时水池底部的物体由于光的折射看起来比实际位置偏高,当把水排掉无水后,池底的物体相对人来说变远了,如果仍然想在原来的位置用此照相机拍到这个物体清晰的照片,根据凸透镜成实像时,物远像近像变小,可知他应该调整照相机,使镜头后缩,暗箱应略短些.
反之有水时,物体由于光的折射看起来比实际位置偏高,物近像远像变大,使镜头前移,暗箱应略长些,所得的像会略大些.故选C.
例6 测绘人员绘制地图时,需要在空中的飞机上向地面照相,称为航空摄影,若使用航空摄影照相机的镜头焦距为50mm,则底片到镜头的距离为( )
A.10mm之内
B.略小于50mm
C.略大于50mm
D.等于50mm
解析:航空摄影是指在飞机上向地面拍照,由于物体距离凸透镜非常远,可以看成从无限远处入射的光线,它所成的像应当略大于焦距。故本题的正确选项为C。
【评注】解决有关照相机、幻灯机和放大镜应用的问题都离不开凸透镜成像规律。而掌握这些规律的最好方法就是画图,因此,同学们在课下应反复画物体在凸透镜不同位置的成像光路图,在这个基础上熟练掌握知识点分析中所列的表格,再做这种问题就得心应手了。
例7 物距OB为u,相距OB'为v,凸透镜焦距为f。请用几何方法求证1/u 1/v=1/f。
解析:详细解析请见本词条推导方法中的几何法。