1. 多边形内角和为(n-2)180º
证明:
上图n边形,在中心找一点,连接中心和各个顶点,把五边形分成五n个三角形,求多边形的内角和转化为求三角形内角和问题。
n边形内角和=(180º-∠1) (180º-∠2) (180º-∠3) (180º-∠4) (180º-∠5) …..(180º-∠n)
=n*180º-(∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n)
=n*180º-360º
=180º(n-2)
2. 多边形的外角和为360º
证明:
因为:
180º-∠1 180º-∠2 180º-∠3 180º-∠4 180º-∠5 ……180º-∠n=(n-2)*180º
n*180º-(∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n)=(n-2)180º
n边形的外角和=∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n
所以 :
n*180-n边形的外角和=(n-2)180º
n边形的外角和= n*180º-(n-2)180º-=n*180º- n*180º 360º =360º
3. 多边形的对角线
(1) 对角线定义
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线
(2) n边形的一个顶点可以引出n-3条对角线,这些对角线可将n边形分成n-2个三角形
证明:
n边形共有n个顶点,因此剩余n-1个顶点,根据对对角线的定义,有两个顶点与这个顶点相邻,因此剩余顶点个数为(n-1)-2=n-3,从某一顶点只能向n-3个点引出n-3条对角线。
(1) n边形共有n(n-3)/2条对角线
证明:
根据(2)的结论,n边形每一个顶点有n-3条对角线,那么n边形共有n(n-3)条对角线,因为每一条对角线重复的计算了两次,因此对角线数为n(n-3)/2
4. 正多边形
(1) 定义在同以平面内各内角都相等,各边也相等的多边形叫做正多边形
(2) 正五边形1) 正五边形每个内角为3*180º/5=108º
2) 外角为:360º/5=72º
或者:180º-108º=72º
3) 共有n(n-3)/2=5(5-3)/2=5条对角线
(3) 正六边形