积分就是还原dy，= y 在讲微分的时候讲过积分的符号，它是由Summation --> S 演变而来。是积分符号，是积分式

y = x² x 1的导函数是 y' = 2x 1，导函数也可以用莱布尼茨符号表示 = 2x 1

由= 2x 1推导出 dy = (2x 1) * dx （变化率的估计），积分表示为dy = 2x 1 dx，2x 1被称作“被积分函数”

被积分函数 2x 1 反推原式 x² x C ( C为未定常数 )，C可以是任一常数，所以被积分函数反推的式子可以是无穷多的

积分就是要还原微分，或者说做积分的动作相当于反过来的微分

接着看这个式子2x 1 dx = x² x C x² x C是 2x 1所有可能的反导函数

像 x² x 是 2x 1的一个反导函数， x² x 1，x² x 2，x² x - 1001 等等都是 2x 1的反导函数

由此可推出：n项多项式 dx = x² x C 左边有一个积分符号和dx，中间是n项多项式，右边推导的反函数有常数项，可以对应无穷多个反函数，称为这样的式子叫(不定)积分

看几个不定积分的例子：x 1 dx = x² x C ； 3x²-4x-6 dx =

- 2x² - 6x C

积分的基本公式dx = [] C（r≠-1） 验证一下这个公式：[]' = [] = 需要注意的是该公式的r≠-1，因此不能做被积分函数

自由落体是只受重力(如地球吸引力)等的加速运动，速率成比例的加快。公式为= -9.8t

公式中的 - 代表速度朝下的，公式可以理解为自由落体时，当时间为 t (sec)时，下降时的速率为 9.8t ( m/sec )

看一个例子：x = x(t)，为瞬间 t 的高度(m)。假设 x 从1000m下落，求10秒后 x 有多高，几秒x落地

解： x = dt = -9.8t dt = -4.9t² 1000 （ x 为当时间是t时的高度）

当 t = 10 时，x(10) = 510，即10秒后 x 有510m高

-4.9t² 1000 = 0

t² = ≈ 204

t = ≈ 14.3(sec)

即大约14.3秒落地

定积分表示为dx，不定积分表示为dx

定积分算出来是一个数，，是 f(x) 对 x 从 a 到 b 的积分；不定积分算出来是一个函数

举一个例子：f(x) = （变化率，这里指速度），y = F(x) 是某物体在时间 x (sec) 的位置(m)；由此可推出= F'(x) = f(x)，F 是 f 的一个反导函数 =运动后从时间 a 到时间 b 的位移 = F(b) - F(a)

不定积分：可推出F，常数无穷多

若f(x)是F(x)的导函数(F的变化率) f(x) = F'(x) = dx = dx = dF = F(b) - F(a) 定积分：求 x = a 到 x = b 的数

变化率在物理上最常见的是指速度(F 位移)，变化率在金融主要是指边际利润(F 利润，x 销量)、边际成本

若 f(x) 表示高度(m)，x 表示宽(m)

f(x) dx = F(b) - F(a) = f(x)图形在 a, b之间，在 x 轴上方的面积

看一个例子：高f(x)=2,求 x 轴从 0 到 3 的面积。该例用求解长方形面积的方法很好求解：长方形的面积 = 宽*高 = 2*3 = 6

现在熟悉下定积分求解面积：f(x) dx = 2 dx == [2*3] - [2*0] = 6

再看一个例子，求下图直角三角形的面积

解：dx = == [* 2²] - [* 0²] = 3

即直角三角形的面积是 3

首先了解一个概念：供需曲线包括需求和供给，是price(价格)与供应量需求量的数学模型

假设需求 P = 0.4x² - 2x 6

供给 P = 0.6x² 1

(x：需求量或供给量(万件)；P：价格（元）)