图4指数函数的性质

既然不可积，不想愉快的玩耍，得想辙！

给它乘以一个因子，相乘之后可积不就完事了。这个因子已经有人想好了，就是e^-σt。根据傅里叶变换公式，我们得到了s=σ jω。

OK，s是个复数，所以我们说拉普拉斯变换是将时域变换到复频域，见图2。在通过简单的变量替换，我们可以得出拉普拉斯反变换：

引入一个e^-σt，可以解决绝对可积的问题，我们把它叫做衰减因子。从这个角度看，拉普拉斯变换就是f(t)*e^σt的傅里叶变换。

图5引入衰减因子，X^2的函数“倒下了”，来源网络

除了信号处理与通信领域，似乎在经典控制理论中，更热衷于使用拉普拉斯变换。因引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。

最后，再让我们看一看拉普拉斯变换的历史。在19世纪末，英国有一位工程师叫做赫维赛德，他发明了一种算子，可以方便的解决电气工程的一些问题。但是你知道的，工程师吗？不会有严格的数学证明。直到拉普拉斯在自己的著作中给出了明确的数学依据，这一方法开始在电学、力学等众多的工程与科学领域中得到广泛应用。