提要

角是一种基本图形，是研究三角形，四边形等几何图形的基础。角的大小与角的两条边的长短无关，角度表示方法很多，要注意顶点处不是一个角时，不能用一个顶点字母表示角。

知识全解

一．角的概念

（1）角的静态定义：由公共端点的两条射线组成的图形称为角。这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边。

（2）角的动态定义：角也可以看作一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时，所成的角称为平角，回到起始位置，与OA重合时，所成的角称为周角。平角=180度，周角=360度。

提示：如果不做特别说明，初中阶段所说的角都是指小于平角的角。

二．角的表示

一．角的单位

在实际生活中，有时还需要更精密的角度。因此我们把1度的角60等分，每份就是1份的角，记作1’；把1分的角60等分，每份就是1秒的角，记作1’’，即

提示：在进行度，分，秒的有关计数时，首先要明确它是六十进制，不同于我们习惯的十进制，在进行加减运算与乘除运算时，要按级进行，即分别按度，分，秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后才能运算。在相乘或相加时，当低位的数大于60时要向上一级进位。

一．余角和补角

（1）如果两个角的和等于90度，那么这两个角互为余角，简称互余；如果两个角的和等于180度，那么这两个角互为补角，简称互补。

（2）同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。

提示：①互补，互余都是指两个角之间的数量关系。只有当∠α ∠β=180度时，才能称∠α与∠β互补；只有当∠α ∠β=90度时，才能称∠α与∠β互余。

②两个角互补或互余与两个角的位置无关系。

③“互为补角或余角”的含义是“两个角中一个角是另一个角的补角或余角”。例如，∠A ∠B=180度，即∠A是∠B的补角，∠B也是∠A的补角，不能说“∠A是补角”或“∠B是补角”。

方法点拨

类型1 角度的计算

例1 如图所示，已知：∠AOB被分成∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4,OM平分∠AOC,ON平分∠DOB，且∠MON=90度，求∠AOB的度数。

【分析】根据题意设∠AOC=2x,∠COD=3x，∠DOB=4x，则∠AOB=9x，再根据角平分线的定义以及∠MON=90度，即可求出∠AOB的度数。

【解答】设∠AOC=2x,∠COD=3x，∠DOB=4x，则∠AOB=9x，因为OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，所以∠MOC=x，∠NOD=2x,所以∠MON=x 3x 2x=6x

又因为∠MON=90度，所以6x=90度，所以x=15度，所以∠AOB=135度。

【点评】方程是解决数学问题的重要工具，在角度的计算中运用方程思想，不仅能使解题过程简捷明了，还可以开阔视野，提高思维能力。特别是在处理比例问题时通常设每一份为x，通过方程来解决问题。

类型2 度，分，秒之间的单位换算

例2 将31.24度化为用度，分，秒表示的形式

【分析】要将31.24度化为用度，分，秒表示的形式，只要将0.24度化为分，然后将分中的小数化为秒即可。注意，将0.24度化为分的方法是60’×0.24。

【解答】60’×0.24=14.4’，60’’×0.4=24’’，所以

【点评】进行度，分，秒之间的单位换算，要注意度，分，秒之间的换算单位，避免换算单位上的错误。