（作者：刘岳老师）

据说在广大数学系同学的教材中，证明题被分为了两大类：

（1）这t（题）m（目）也用证？

（2）这t（题）m（目）也能证？

而今天的问题，可能还要特殊一点，你可以说它属于第一类，若是归属于第二类好像也毫无违和感，是的，说的就是我们小学就知道的加法交换律：a b=b a。

当然，它又不是公理，况且，并不是每一种运算都满足交换律，比如减法就不行，a-b和b-a并不是总相等的，a÷b和b÷a往往也是两回事，解释这一点很简单，对于a b而言，其中的a和b都叫做加数，但是对于a-b，一个叫减数，一个叫被减数，当然不能随意交换。

接下来关于这个等式的证明，或许我们会有一些这样那样的想法，比如，通过移项两边加加减减。

当然不可能这么简单了。

做证明题一定要清楚一点，我们有什么？

对这个问题无从下手的一个主要因素就是，这题没给条件啊！其实也不是没给，是默认我们都知道了，比如

（1）什么是a、b（这里代指自然数）；

（2）什么叫加法。

我们确实知道，只不过我们熟悉的并不能解决这个问题。

什么叫自然数？

像0、1、2、3……这样的数叫自然数，这是我们小学就知道的定义，这个定义能帮助孩子们理解、辨别自然数，至于严谨不严谨的，这不在小学考虑的范畴。

但对于我们这个问题，什么叫自然数就很重要了。

对于一些数学基础定义，我们下定义的方式从来都不是“它是什么”，我们不曾讨论过“1是什么？”、“1真实存在吗”等等，我们只会描述“1”可以用来做什么，比如“我在马路边捡到1元钱”、“这次考试我考了班级第1，倒数的”。

明确我们想要它来干什么，再用公理来规范它，即所谓的公理化，至于它本身有没有意义之类的，who care。

我们想要自然数实现什么？

（1）基数功能：表示数量；

（2）序数功能：表示顺序；

（3）运算功能：如果1 2不能得到3的话，那么1 2与a b又有什么区别？

原始人结绳计数

通用的定义自然数的公理是皮亚诺（Peano）公理，以下内容参考《陶哲轩实分析》一书，关于皮亚诺公理作简单介绍。