线性规划

在数学中，线性规划是一种具有约束条件的优化操作的方法。 线性规划的主要目标是求最大或最小化值。 它由线性函数组成，这些函数以线性方程或不等式的形式受到约束。 线性规划被认为是寻找资源最优利用的一项重要技术。 术语“线性规划”表明多个变量都是直线的“线性”关系，通过变量的约束寻找最佳结果即“规划”。

线性规划广泛应用于数学和其他一些领域，如经济、商业、电信和制造领域。 在本文中，让我们讨论线性规划的定义，它的组成，以及解决线性规划问题的不同方法。

什么是线性规划

线性规划也称线性优化可以定义为最大化或最小化受线性约束的线性函数的问题。 约束可以是等式或不等式。 最优化问题涉及到利润和损失的计算。

也就是说，线性规划是将给定数学模型的目标函数最大化或最小化的一种优化方法，其要求的集合以线性关系表示。 线性规划问题的主要目的是求最优解。

线性规划的组成

线性规划的基本组成部分如下:

•决策变量

•约束

•数据

•目标函数

线性规划的特性

以下是线性规划问题的五个特点:

约束——关于资源的限制应该用数学形式表示。

目标函数-在一个问题中，目标函数应该以定量的方式指定。

线性-函数中两个或多个变量之间的关系必须是线性的。 它的意思是变量的次数是1。

有限性——输入和输出数字应该是有限的。 当函数有无限因子时，最优解是不可行的。

非负性-变量值应该为正或零。 它不应该是负数。

决策变量——决策变量将决定输出。 它给出了问题的最终解决方案。 对于任何问题，第一步都是确定决策变量。

线性规划的图形方法

用图解法对二元线性规划进行优化。 如果问题有两个决策变量，图解法是找到最优解的最佳方法。 在这种方法中，不等式集受到约束。 然后不等式在XY平面上画出来。 一旦所有的不等式都绘制在XY图中，相交区域将有助于确定可行区域。 可行区域将提供最优解决方案，并解释我们的模型可以采取的所有值。 让我们看一个例子，更好地理解线性规划的概念。

例子:

计算z = 5x 3y的最大值和最小值。

X 2y≤14

3x - y≥0

X - y≤2

解答:

三个不等式表示约束条件。 被标记的平面的面积就是可行区域。

优化方程(z) = 5x 3y。 你必须找到(x,y)的顶点，它们给出z的最大值和最小值。

首先，解每个不等式。

X 2y≤14, y≤-(1/2)X 7

3x - y≥0, y≤3x

X - y≤2, y≥X - 2

下图是上面方程的图表，黄色三角形的区域就是所求值的约束范围。

现在把这两条线配对成一个线性方程组来求直线的交点。

Y = -(1 / 2) x 7

y = 3 x

解上述方程，我们得到交点为(2,6)

Y = -1/2 x 7

Y = x - 2

解上述方程，得到交点为(6,4)

y = 3 x

Y = x - 2

解上述方程，我们得到交点为(-1，-3)

对于线性系统，优化方程的最大值和最小值位于可行性区域的角落。 因此，要找到最佳解，只需要将这三个点代入z = 3x 4y

(2, 6):

Z = 5(2) 3(6) = 10 18 = 28

(6，4):

Z = 5(6) 3(4) = 30 12 = 42

(-1，-3):

Z = 5(-1) 3(-3) = -5 -9 = -14

因此，z = 42的最大值在(6,4)，z = -14的最小值在(-1，-3)