原文: https://betterexplained.com

译文: http://jakwings.is-programmer.com/posts/29565.html

欧拉公式看起来完全让人摸不着头脑：

e^ix ＝cos(x) isin(x)

这就是说：

e^iπ =cos(π) isin(π) = -1 i(0) = -1

这个结果是如此的不真实，所以我打算再把它重写一次：

e^iπ ＝－1

这个方程式把虚指数与正余弦函数联系起来。它是怎么把一个像 π 这样的无限不循环小数这么简单的就变为 -1 了呢？这能有一个直观化的解释吗？ 这里不得不提到19世纪的数学家 Benjamin Peirce：

“这绝对是个悖论；我们不可能理解它，我们甚至都不知道它是什么意思，但是我们既然证明了它，那么我们就知道它是真的。”

这种态度让我大为火光。我们应该直接举手投降，然后死记硬背吗？不！

欧拉公式描述了沿着圆运动的两种方式。仅仅是这样吗？最有魅力的公式之一就是转圈圈？没错——今天我们就来看看这是为什么。

11.1 理解cos(x) isin(x)

方程式符号承载的东西太多了。有时候它只是表示“把一个东西变为另一个东西”（比如说 x＝3）而已。而另一些时候它只是表示“描述同一事物的两种不同方法”（比如说根号负一等于i）而已。 欧拉公式就是在描述两种描述统一现象的等价方法：转圈圈。为了达到我们的目的，假设你前进了 x 弧度：

• cos(x) 就是x轴的坐标（水平距离）
• sin(y) 就是y轴的坐标（竖直距离）

cos(x) isin(x) 是一种很聪明的办法，它把两个坐标整合到了一个复数中。“复数有两个维度”的类比帮助我们很好的把这些即使作了二维平面上的一个点。记得我们在第一章给圆下的定义吗？现在我们来加入一些新的东西。 当我们写下 x＝π（在这个例子中表示让 x 的指为 π ）时，就是说我们沿着单位圆运动。

因为圆周长是 2π，所以我们走了一半的距离。 从 1 开始前进 π 弧度，我们的起始点在单位圆上，终点就是 -1。没有虚部（y轴坐标），因为 -1 就在实数轴上。如果我们是令 x＝-π，沿顺时针方向前进的话，我们得到相同的结果：-1。 很酷吧。所以欧拉公式就是说 eix 跟(cos(x) isin(x))表示相同的沿着单位圆进行的运动过程。现在我们来看看 e 是怎么做到这一点的。

通常的增长就是推动一个数字沿着一个固定的方向前进：2×3就是把2沿着原始方向，把它推到3倍大（6）。

但是一个虚数倍的增长会把你的“增长”旋转90度到虚轴上！简单来说就是一个与原来方向正交的推动并不会让你的增长速度变快或变慢——它是要把你旋转一下！任何实数乘以 i 并不改变大小，只会改变方向。 直观的来看，当我们在讨论虚增长时，实际上就是在说：

虚增长：当我增长的时候，不要把我推向前或向后，而是要旋转我。 一个常数旋转并不会改变你的大小——你只是会转圈圈而已。

不是的。我来跟你解释一下：常规的增长让你在原来方向上前进或后退。所以你从1开始，到2，4，8，16，你每次都是乘以一个2，然后你依然是个实数。 但是纯粹的虚增长只是让你旋转。让我们假定你在 i 方向的增长率是100%：你保持一个恒定的推动，所以最后的效果也就是旋转而已。 1 秒之后你在90度方向（i），2秒后，你在180度方向（i² ＝-1），这样不断进行。虚增长不进行复合！如果你的增长率是一个较大的虚数（2i），你可以认为这个增长需要两倍长的时间（还记得e把时间与增长率合并到一起吗？）。但是它还是在一个垂直的方向进行推动，而这不会改变你的速度。 现在，如果你的增长率是个复数（a bi），那么实数部分就跟常规增长一样表示你是增长还是缩少，而虚数部分表示将把你旋转。但是欧拉公式（正如它的形式一样）是关于纯粹的虚增长（e^ix）的。我们接下来的讨论会更复杂一些。

11.5 追根溯源

让我们凑近点看看。回忆一下关于e的这个定义：