微积分到底是什么？

（开头的这一段攻击性太强，我把它删了。）

微积分到底是什么？这是一个长期悬而未决，又长期被人们忽视的问题。另一方面它又是不断地被人们误解，也长期得不到正确解答的问题。有人会说，我们的数学都已经发展到如此先进的地步了，怎么你会说出这样的话，怎么能说我们还说不清楚什么是微积分呢？在这里，我不得不明白地告诉你，这是事实。

我们一直说不清楚数是什么，而微积分是建立在数的基础上的。那么我们说不清什么是微积分就一点也不奇怪了。当然也有人会说，你怎么知道我们说不清什么是数呢？抱歉，我必须把真实的情况告诉你，那便是，没有人能够说清。你也不要试图在集合论中去找，不要在实分析中找，也不要在戴德金分割中找。更不要在任何一种你看不懂的涉及到高等数学理论的专著或论文中去找。那些理论著作或者论文中，没有一句话曾经告诉过我们数是什么，（若有的话，在百度中一定会收录这样的词条）。如果你认为数是什么的问题本身就不是一个简单的问题，而是需要用一系列的并且更高级的来说明它。那么，对不起，我告诉你，他们说的那不是数。

数是古人发明的。如果连今天的我都看不懂的话，那么我不敢相信，在还没有发明出系统的语言文字之前的古人，在发明数的时候会基于我们今天也看不懂的用语言文字讲述的理论。这不符合逻辑，更不符合历史。数的理论怎么可能基于数学呢？明明是数学基于数，怎么会反过来说，数要基于数学呢，而且还是高等数学？

跟你说了这么多作为铺垫之后，现在我就可以正式回答这个问题了。我们的数有两种，一种是算术中的数，就像我们小学课本，一个苹果加两个苹果等于三个苹果这样的事情。还有一种数是分析中的数。就是我们到了中学以后开始用数轴所表示的数。在这里我们一定要搞清楚，用苹果表示的数和用数轴表示的数是两种数。那么基于此，关于数是什么的问题，我们也要分两个层次来定义：

1、算术中的数是那些与被计数的自然事物的规模的“等量物”的符号。小学课本上画着的三个苹果，在中间那个苹果的正下方标注的那个符号“3” 就是算术中的数。在这里，书上画着的三个苹果，就是所有”三个在一起所构成的任何自然事物的规模”的等量物，而“3”是这个等量物的符号。于是“3”这个符号，既可以表达三个苹果，同时也可以表达三个子女或三只猎物。

2、简单说，分析中的数是那些人为规定的”单位元素”所构成“计划事物”的规模的”等量物”的符号。数轴上的单位线段就是这样的单位元素，单位线段所构成的直线就对应着计划事物的规模。进一步说，在分析中，数是那些数轴上与被计数事物的规模一一对应的单位线段规模的边界的符号。从形式上看，数是数轴上的单位线段之间的虚拟界限的符号。于是你会看到，数轴上的“3”标注在第3与第4线段的界线处，而不是像算术中那样，把它标注在三条线段中间（即第二条线段的中间）的正下方。

微积分的问题只出现在分析中的数，算术中的数与微积分没有任何关系。但是我们现在所有涉及微积分的理论都是在混淆了这两种数的前提下所做出的。我们时而把数作为算术中的数来分析（例如点的移动），时而又试图通过这种算术性的分析来获得分析中的数的结果。因此，微积分作为一项数学应用技术来讲，它的理论基础就是不稳固的，且始终存在着矛盾（主要集中在无穷这个问题上），这便是我们始终说不清楚什么是微积分的重要原因。但这并不影响我们在这脆弱的数学基础上建造起一座高耸入云的数学大厦，当然这也离不开历代数学家为此目的而设计出的一系列可谓巧夺天工的支撑架构以及令人眼花缭乱的加固措施。其实，高等数学之“高”则恰恰体现在这里。脆弱的基础、巍峨的大厦、纷繁复杂的技术措施，而后者正是为前面的一对矛盾而付出的“代价”。

算术中的数和分析中的数，本质上的区别在于算术中的数的单位是固定的（其中自然数的单位始终为1）。而分析中的数的单位是不确定的，具体是几，则由函数法则来决定的。考虑无论是算术中的数还是分析中的数，都是有单位的，因此，我们可以说函数是分析中最普遍的数。

在我们的数学中，函数有很多种。在此我们只考虑其中两种：一种是直线函数（一次函数），一种是曲线函数（二次函数）。直线函数可以理解为单位固定的函数，也就是说它的函数法别是由常数规定的。曲线函数可以理解为单位随着自变量变化而变化的函数。当二次函数的系数为1时，我们可以理解为，它的函数法则是由自变量决定的，即，这个函数的单位就是该函数的自变量。

一次函数和二次函数是两种不同的数。基于自然数是数学中最基本的数，也可以说自然数是特殊的一次函数，而数学的终级目的又都是为了用一次函数的实数“值”来表达客观事物的规模。但在自然界中，有些事物规模的值不是按照一次函数的序级排列的，例如自由落体的速度，以及液体随深度的增而引起压强变化的值等等。

哦，我还想在这儿说一件更“离奇”的事情：根据我的研究，人类（最起码也包括陆地上的哺乳动物）的大脑对于时间量的认知就是按照二次函数的序级排列的，但我们对于时间的计量用的却是一次函数，也就是说我们时刻生活在时间曲线的切点上。日常生活中的“时间点”这一概念，对于我们来说就是关于时间的微分。而这也可以作为解释为什么我们只能活当下，不能回到过去，更不能跨越至未来的道理。空间大致也是如此。这些，或许还能够解释经典物理学的主要公式中为什么总会出现时间和空间的平方之类的问题。

好了，明确了这些之后，我们就可以指出这个问题答案了：微积分到底是什么？答案是：为了满足人们总是希望用直线函数（一次函数）上的值来表述曲线函数（二次函数）上的值的合理趋势，由历代数学家所发明的一门数学技巧。

问题就这么简单吗？对，就这么简单。事实上人类发明使用了很多诸如此类的技巧，但我们并不知道其中的原理。比如我们用锄头锄地，我们并不知道那里面有加速度与能量之间的关系的问题，也不知道还涉及到所谓杠杆原理。

微积分作为一项实用技术，我们当然可以用常识的例子来解释一下它。比如我们想让一个物体沿力的相反方向运动，我们可以设置一个定滑轮来实现这个目的。牛顿-莱布尼茨的微积分就相当于这样一个定滑轮功能，它为我们实现“用一次函数上的值来表达二次函数上的值”的这一意图提供了可能。可是牛顿-莱布尼茨微积分就像定滑轮那样，它可以改变用力的方向，但并不省力，也就是说它并不完善。柯西-维尔斯特拉斯的微积分，是相当于在这项技术的基础上又增加了一个动滑轮，使得物体既满足向力的相反方向运动，又达到了省力的效果。实际的情况是，牛顿-莱布尼茨的微积分永远也达不到极限，而柯西-威尔斯特拉斯的微积分则随着极限的增加，精度也在增加，当达到极限时，精度也达到极限。因此严格来讲，“δ-ω”这样的一种说话方式所表达出来的意思，只是技术规范上的一种提高。以锄地的那个例子来讲，是教你如何锄地的那个农夫会说话了，也就是语言表达水平提高了。他现在说的话，能让你很快的就能明白，地应该如何锄才更省力，锄出来的效果还更好。用更现实一点例子讲，就是蓝翔的老师授课水平更高了。但是锄头的工作原理应该由物理老师来讲解，因为那其中涉及到势能、加速度、杠杆原理、压强等一系列物理学知识。农夫是不会给你讲这些理论的。你从数学老师那里得不到微积分到底是什么的答案。这样的答案应该由我这样的民间数学哲学家来回答。这样的回答，不管它对还是不对，毕竟这是由专业的人干出来的专业事。什么意思呢？这意思就是说，你可以从数学老师那里学到如何进行微积分，但微积分到底是什么，这个事，你得从我这里学。

一提起数是什么的问题，总会有人见意我去看看这个去，去看看那个去，还有人见意我去wiki看一下“nature number”词条。以及可以参考一下《A Readable Introduction to RealMathematics》一书。但没有一个人指出我哪句话说错了。更没有一个人从文献上，哪怕百度上粘过一句话来，告诉我什么是数。如果真的有人粘过一句话来。我就可想象了，我想象着回到一万年前的美索布达米亚人的祖先那里，问问它们看得懂吗。因为据有文字的历史考证所知，我们现在所用的数最早记录在楔形文字的泥板上。也就是说数是由美索布达米亚的先人们发明的。我问他们，你们能不能根据这些理论创造出现代人仍然使用着的数来？

数是什么？这个问题没那么复杂。前面我们曾经提到数学之所以高级，不在于它的建筑高度有多高，而在于这个高大的建筑是建立在脆弱的基础之上的。高就体现在为解决这一矛盾而采取的那些纷繁复杂的技术措施。现在，我们朝相反的方向思考，如果我们深入数学的基础。找出基础上存在的漏洞，把它填补上。使我们现在的数学大厦建立在一个坚实的基础之上，是否就可以撤掉这些繁琐的支撑，还数学以朴素的本来面目，让现在的所谓高等数学使小学生就能看得懂？我相信，这样的目的一定能够实现。

一个大学生跟我说，在讲数学导论的时候，教授的第一句话就是“忘掉过去所学的所有数学”。我对他讲，教授的这句话是什么意思你知道吗？你小学学到的算术是一门技能，到中学你所学的所学的数学都是理论。而到了大学，又要开始跟你讲述技巧了，开始让你接受”无限趋近于……”这样的故事。如果你还抱着你在中学学习数学时那样的严谨态度，你就不能理解：”怎么无限趋近于，无限趋近于着，最后就到了呢？”你要是聪明一点的话，你马上就会意识到，“不！这不是数学。”当然，老师比你要聪明的多，他提前就要封堵住你这个念头，于是便有了那句话：“忘掉过去所学的所有数学”。懂吗？这里更深一层的含义，你懂了吗？老师只是要求你忘掉过去所学的所有数学，但是并不会告诉你为什么要这样做。看过我上边的话，希望你多少能够明白老师为什么会这样说的道理。在我的回答里，我说了那位老师应该说而不会说的话。他不会。

在数学发展的漫长历史长河中，所谓函数（包括一次函数、二次函数），己经有无数的科学家做过全方位的不同深度的探索。这些探索所构成的知识，尤其所涉及的内容，远比你和你的老师所了解的知识的总和要多的多的多，我们需要更宽的知识面。不要认为我们己经懂的得的那点东西有多么的重要，尤其在我们探索“函数到底是什么”这一问题上，我们知道的太少，甚至我们的前辈们也没有在这方面给我们留下什么明确的指示。

另外，我在这里也必须要强调，我说的那些话与现在的数学理论，从本质上看，没有任何冲突，也可以说对数学一点伤害都没有。这也是我的本意。如果你听着它别扭，那仅仅是你没听说过而已。不能因为你没听说过，就认为它是错的。而你若相信我说的这些话，对于你理解数学的基础是有帮助的，当然不是每个人都有这样的兴趣。

说了这么多，不知道你能不能正确地理解，但不管怎么样吧，只要你能够看出我不反，也没有反数学，这就够了。