《数的产生与发展》（至整数的加减法止）

彭彤彬

数产生自人类的生活、生产等实践之中，它是自然客观存在的一个方面在人脑中的反映。

后由于对客观自然认识的不断加深，随着数学理论的发展，不断产生了新数，促使了数的概念不断发展。

至今数的发展及数的理论已经较为完备。

基于数发展起来的理论称为数学。

随着现实科学的不断发展，人类不断将数的有关理论加以抽象深化或赋予新的含义，发展起了数学的现代各分支，它们就是高深难懂的高等数学。

本小册子主要按逻辑发展顺序讲述数的起源和发展，因为按数的实际发展历史来讲会显得杂乱，让人看不到其中的脉络，而抓不住数及其理论蕴涵的本质。

让我们从中了解数的发展历程，及其演化方向，让我的懂得数是数学及其各分支的基础，从而明确数的重要性。

一、自然数

1.自然数的概念

人类生存在这个世界上，时时处处需要与客观物体打交道。

早期人类需要对人员、物品计数，并比较它们的多少，就产生了自然数。

一群人有几个？1人，2人，3人，4人，…，10人，….

一堆桃子有多少个？1个，2个，3个，…，10个，…

一个人有几个手？1个，2个。

一个人有几个手指？1个，2个，…，10个。

一个部落中有几个家庭？

每个家各有多少人？

射*一头野猪用了多少支箭？

一月有多少天？一年有多少月？一年有多少天？

人们在生活、生产中，为了计算事物的多少，便产生了数（动词）数（名词），通过数数，最终产生了正整数：1，2，3，…，n，…

若“没有”某物体，人们就称这个物体有“0”个。

所以最早0的意义等同于无。

1，2，3，4，n，…称作正整数。由所有正整数组成的整体，我们称为正整数集，常用N＋（＋在N的右下角）来表示。

正整数加入0后，得到：0，1，2，3，…，n，…统称为自然数。由所有自然数组成的整体，我们称为自然数集，常用N来表示。

2.自然数的加法

（1）加法定义：

由上可见，由于实际需要，产生了自然数。但我们要知道，更是由于需要产生了自然数的运算。

一个人有3个桃子，另一个人又送了他2个，那么这个人共有几个桃子？

3＋2＝5。

4个人各打3只、2只、0只、8只野兔，它们一共打了几只野兔？

3＋2＋0十8＝13。

你有10个手指，我有10个手指，他有10个手指，我们三人共有多少手指？

10＋10＋10＝30。

就这样自然而然地产生了自然数的加法运算。

两个自然数a，b按上面规则相加，即一堆a个物体，另一堆b个物体，将两堆放在一起，变成一堆，这一堆有多少个物体？得到的结果称为a与b的和，记为a＋b。

求两自然数和的过程叫做加法运算。

类似可得三个数或更多数的和式，求这些数的和都称为做加法运算。

如：10820＋3500＝14320，

3300＋5702＋8673＋1053402

＝9002十8673＋1053402

＝17675＋1053402

＝1071075。

（2）加法的性质：

人们通过不断地做加法去求数的和的实验，明白了自然数有下列性质：

0是最小的自然数。

0表示无。

0＋0=0，

0=0 0＋0，

0＝0 0 0 0 0，

0＝0 0 0 0 …＋0。

即任意多个0相加均为0。

0＋a＝a＋0＝a。即0与任何自然数相加，或任何自然数加0，均等于这个自然数。

1是一个很特殊的自然数，有了它，就可以用加法得到除0、1外的所有自然数。即：

2＝1＋1，

3＝1＋1 1，

4＝1＋1 ＋1 1，

5＝1＋1 ＋1 1＋1，

10＝10个1的和，

1000＝1000个1的和，

一般地：

自然数n＝n个自然数1的和。

由上知道，0，1两个自然数，它俩是很特殊、作用很大、属性相反的自然数。

0表示无，任意个0相加均为0，不可能和为1，即无中不能生个有。

1表示有，n个1的和就等于n，即1生成了所有表示“有”的自然数。

但无论多少个1的和，不可能等于0。即“有”是客观存在的，是不可能消失。自然数n可以拆分成n个1的和，表明再大的数，不论你怎么去分割它，它的每一份再小，也是有，不可能变成0。

所谓的“无中生有”，“变有为无”，在客观世界中是不存在的。

物质不灭吗，一种物质可以改变存在形式，但不会消失，也不会没有任何物质，你把它创造出来。

这个物质客观存在性，反映在数学中也是不存在的。

要想“无中生有”，“变有为无”，那只能存在于“幻想”的魔法里面，或各种神话之中。如上帝创造万物，大变活人等。

有与没有，属性相反，差异很大，无与有由加法不能联系沟通上，但“有”，只是量级上的差异，有多有少，但总可以表示成1的和。

自然数a＋1是比自然数a大且最接近a的自然数，即两个自然数a与a＋1之间无其它自然数。我们称它们为相邻的自然数。

3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，亦称为连续相邻的13个自然数。

从自然数m开始下列一组数：m，m＋1，m＋2，m＋3，…，m＋n-1，称为连续的n个自然数。

从2n＋1开始的连续n个自然数为：2n＋1，2n＋2，2n＋3，…，2n＋（n-1），3n。

从0开始，每次加1可得一个新的自然数，将得到的自然数再加1，又得到一个新自然数，这样一直加下去，可得到所有的自然数。

即：0，0＋1＝1，1 1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，4＋1＝5，5＋1＝6，6＋1＝7，7＋1＝8，8＋1＝9，9＋1＝10，10＋1＝11，11＋1＝12，……

我们发现，所有的自然数是数不完，是写不完的，它不是有限个，我们称它为无数多个，常记为＋∞，读作正无穷大。

可以知道，＋∞比任一个自然数都大。

显然有：0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11＜12＜…＜100＜101＜102＜…＜999＜1000＜1001＜1002＜…

在做加法时，我们可以发现一个重要的性质：

任两个自然数的和仍是自然数。即若a，b是自然数，则a＋b仍是自然数。

人们称这个现象为自然数关于加法是封闭的，或自然数具有加法封闭性。

现在我们记为：

若a∈N，b∈N，则a＋b∈N。读作若a是集N的元素，b是集N的元素，则a＋b也是N的元素。

（3）加法的运算律：

加法运算遵从的运算律如下：

①两个自然数求和时，不管哪个在前面，和值一样。

我们称这个现象为：自然数的加法满足交换性。

现在记法为：a＋b=b a.

②多个自然数相加，不管是三个或更多个，先加哪两个，后加哪两人个，最终总和值相等。

我们称这种现象为：自然数加法满足结合律。

现在记法为： （a＋b）＋c=a (b＋c)＝a＋b＋c。

由于自然数加法满足交换律和结合律，所以一些自然数相加，我们可将要加的某些自然数交换并给合在一起先加，然后再接下去作至求出总和来。

这就是我们求和使用一些技巧的依据。

如：3＋5＋7＋55＋21＋39

＝（3＋7）＋（5＋55）＋（21＋39）

＝10＋60＋60＝130。

如：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10

＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋（5＋10）

＝10十10＋10＋10＋15

＝55。

提问：

①1＋2＋3＋…＋100＝？

②11＋12＋13＋14＋…＋199＝？

③1＋2＋3＋…＋n＝？

④n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（2n-1）＋2n＝？

3.自然数的减法

（1）自然数减法概念

人的在生活，生产中常遇到下列问题:

你有10个桃子，你给了5个*妈，你还剩几个?

10-5=5个。

一群人有12个，走了6个去打猎,3个去寻柴禾，剩余的人打扫卫生，问打扫卫生的几人？

12-6-3=3人。

某月有30天，已经过了17天，本月还有多少天？

30-17=13天。

你昨天剩余有5个鸡蛋，今天鸡下了5个，你家人吃了3个，你家今天有几个鸡蛋放到明天？

5＋5-3＝7。

如此的问题众多，举不胜举。由这样的问题产生了自然数的减法。

自然数的减法就是从一个自然数中，去掉一个较小(或之相等)的自然数，剩余多少？求剩结果叫做做减法运算。

现在记法：自然数a减去自然数b记为a一b，所得结果称为a与b的差，其中a叫做被减数，b叫做减数。

（2）自然数减法性质

在做减法的过程中，人们发现：

1-1=0，2-2＝0，3-3＝0，4-4＝0，5-5＝0，6-6＝0，…，n-n＝0，…

即你收入几个某物，再给出相等的几个某物后，你手中就没有了这个物体。

可见，作减法，可以让有变成无。这个无是你这里的，曾有的东西并没有消失，只是转移到别处了。

在做减法的过程中，人们发现：1-2，5-8，189-321，0-54360001，这样的式子在自然数中是不能进行，是没有结果的。

即自然数的诚法是不封闭的，或说自然数减法不具备封闭性。

这与自然数加法是封闭的结论不同。

现在记为：若a∈N，b∈N，则a-b∈N有对有错，所以这个数学结论不成立。读作：若a是自然数，b是自然数，则差a-b不一定是自然数。若a≥b，a-b是自然数，若a＜b，则a-b不是自然数，这时被减数小了，不够减。

在做减法的过程中，人们发现：

10-7＝（3＋7）-7＝3，

58-17＝（41＋17）-17＝41，

103-78＝（25＋78）-78＝25，

310-205＝（105＋205）-205＝105，

归纳一下，就是：若a＋b＝c，则c-a＝a＋b-a＝b，c-b＝a＋b-b＝a。

即若求两数之差，可先将被减数拆分成一数与减数之和，则差就等于这个数。

所以自然数减法，就是自然数加法的变形，是自然数加法的逆过程，我们称它为自然数加法的逆运算。

常把这一过程如下写出：要求a-b，设a-b＝x，则需找x使x＋b＝a，所以若a＝b＋c，则x＝a-b＝c＋b-b＝c。

我们知道做含加减法的混合运算时，先算括号里面的，后算括号外面的。

如（33-17）＋（5 17）-（22-15）

＝16＋22-7

＝38-7

＝31

在含有括号的混合运算中，人们发现：

如：13-（8 2）＝13-8-2（＝3），

27-（18 9）＝27-18-9（＝0），

55-（33 7）＝55-33-7（＝15）。

一般地有：c-（a＋b）＝c-a-b。

如：13-（8-2）＝13-8＋2（＝7），

27-（18-9）＝27-18 9（＝18），

55-（33-7）＝55-33＋7（＝29）。

一般地有：c-（a-b）＝c-a＋b。

又加上由加法满足结合律知：a＋（b＋c）＝a＋b＋c。

总结前面三式，可得到去括号法则：

若括号前为＋号，将括号去掉，括号里各数不变号，若括号前为-号，将括号去掉，括号里各数都改变符号。

在含有多重括号的时候，先算最里面层内的，然后算最里面向外数第二层内的，依次类推，最后算最外面一层括号外的。

如：13-（（（5＋3）-7）-1）-5

＝13-（（8-7）-1）-5

＝13-（1-1）-5

＝13-0-5

＝13-5

＝8

有多重括号的运算式子，可先去括号，再行计算。

可依次从外层向里层去括号，去每层括号时，都遵从去括号法则，将括号去完后，再进行加减运算，最终得出结果。

当然也可从最里层向外层依次去掉每层的括号后再计算。

如：33-（（25＋3）-（7-5））＋5

＝33-（25＋3）＋（7-5）＋5＝33-25-3 7-5 5

＝8-3 7-5 5

＝5 7-5 5

＝12。

或33-（（25＋3）-（7-5））＋5

＝33-（25 3-7 5） 5

=33-25-3 7-5 5

＝12。

4.自然数的乘法

（1）自然数乘法概念：

人们在生活、生产中还会遇到下列问题:

每个人有2只手，那么5个人共几只手？

2＋2＋2＋2＋2＝2×5＝10。

每个人有10个手指，那么27个人共有多少 个手指？

10＋10＋10＋…＋10＝27个10的和＝10×27＝270。

每个人的一只手有5个手指，每个手指有3个关节，哪么一只手共有多少个关节？

3＋3＋3＋3＋3=3×5=15。

一般来说，若a，b均是自然数，那么b个a是多少？

a＋a＋…＋a＝b个a的和＝b×a＝ba。

若a，b均是自然数，那么a个 b是多少？

b＋b＋…＋b＝a个b的和＝a×b＝ab。

一般地，求两个自然数a，b之和ab或ba的运算过程叫乘法，ab或ba的值称为a与b的积，或b与a的积。

可以看出乘法就是多个相同数的加法，ab或ba只是加法的一种简便记法。

显然有：

0＋0＋…＋0＝n个0的积＝0×n＝0。

我们也定义0个n和＝n×0＝0。

即0×n＝n×0＝0。

人们为了计算乘法，发明了九九乘法表，可直接计算个位数的乘法。

即：一一得一。

一二得二，二二得四。

一三得三，二三得六，三三得九。

一四得四，二四得八，三四一十二，四四一十六。

…

一九得九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。

为了进行多位数的乘法，人们发明了竖式算法。

如：35×21＝？

列竖式为：

由上可得：35×21＝735。

如：3249×327＝？

可得：3249×327＝1062423。

弄清了乘法的含义及运算方法，人们便可很容易地得到两自然数数的积。

（2）自然数乘法的性质：

人类在不断求自然数积的实践中，总结出了下列结论:

0×0×0×…×0＝n×0＝0×n＝0。

1×1×…×1＝任意个1相乘＝1。

n×1＝1×n＝n。

若自然数a，b满足a＝nb（其中n是一个自然数），则称a是b的n倍。

如：因15＝5×3＝3×5＝15×1＝1×15，所以15为5的3倍，是3的5倍，是15的1倍，是1的15倍。

如：3的33倍＝3×33＝99＝9×11＝9的11倍＝11x9＝11的9倍。

若一个自然数是另一个自然数的2倍，则称这个自然数为偶数，所有的偶自然数放在一起组织一个整体，叫偶自然数集。除掉偶自然数的所有其它自然数称为奇数，所有的奇自然数组成一个奇自然数集。

所以自然数集，可以由奇偶性分成两个无公共元素的集合：偶自然数集，奇自然数集。

显然，0，2，4，6，8，10，12，…，20000，20002，20004，…均为偶数。

1，3，5，7，9，11，13，15，…，87，89，91，…均为奇数。

人们通过乘法运算知道了，自然数与自然数的积仍为自然数。

我们称这个结论为自然数乘法具有封闭性。

现在写成：若a∈N，b∈N，则ab∈N，ba∈N。读作若a，b是自然数，则积ab，ba都是自然数。

（3）自然数乘法的运算律：

自然数乘法满足交换律。即：ab＝ba，如：3x2=2x3，38×23＝23×38。

自然数乘法满足结合律。

即：a（bc）＝（ab）c。

如：(3x2)x4=3x(2x4)，

85×（22×5）＝（85×22）×5。

另外还多一个运算律：自然数乘法对加法具有分配律。

即：a(b＋c)＝ab＋ac。

如3×(2＋6)=3×2 3×6，

121×（53＋77）＝121×53＋121×77。

由运算侓，有时候能让我们简化运算。

如：357×5×22

＝357×110

＝357×（100＋10）

＝357×100＋357×10

＝35700＋3570

＝38270。

如：

（3308-1256-1944）×252

＝（3308-1200-2000）×252

＝108×252

＝（100＋8）×252

＝25200＋8×250＋16

＝25200＋2000＋16

＝27216。

5.自然数的除法

（1）自然数除法的概念

有了自然数乘法知识后，人们在思考分配问题时，就有了方法。如：有15个桃子，平均分发给5个人，每人多少个？

因3=3x5，可推出每人3个。我们记为：15÷5＝3×5÷5＝3。

现有12000斤谷子，平均分给40辆独轮车运去某地，每辆独轮车需运多少斤？

因12000＝300×40，所以每辆独轮车需运300斤。现在记为：12000÷40＝300×40÷40＝300。

一般地，若某自然数m，可以写成另两自然数a、b的积ab，则将m平分为b份，每份有a个。我们记为：m÷b=ab÷b＝a。同样道理有m÷a＝ab÷a＝ba÷a＝b。

m÷a读作m除以a，其中m叫被除数，a叫除数。m÷b读作m除以b，其中m为被除数，b除数。÷为除号。

m÷a的结果叫商，求商的过程叫除法运算，或叫做除法。

可以看出，要求两自然数的商，需要先将被除数拆分成两自然数之积，即是先作乘法，然后得到商的。故我们称自然数的除法是它们乘法的逆运算。

做除法，若按定义做是不方便甚至困难的。

为了计算除法得到商，人们发明了一种直接算法：竖式除法。

如：9361÷407＝？

解：列竖式计算如下：

可得：9361÷407＝23。

如：123456÷643＝？

解：列竖式计算如下：

可得：123456÷643＝192。

任何两个非零自然数的商均可用竖式计算出来。

（2）自然数除法的性质

显然：0÷m＝0，m÷1＝m，m÷m＝1（其中除数m≠0）。

我们规定：m÷0无意义。即做除法时，除数不能为0。即0÷0，1÷0，2÷0，99÷0，1025÷0均无意义。

因为我们找不到一个自然数a，使1025＝a×0，所以1025÷0＝a×0÷0＝a中的a找不到，也就是不存在。

这是我们以后要注意的，除数不能为0。

在做除法的过程中，人们会发现不是任两个自然数的商都是自然数，并且存在大量的两自然数之商不是自然数。如：1÷2，1÷3，1÷4，3÷2，5÷2，7÷2，7÷3，7÷4，7÷5，7÷6，7÷8，7÷9，7÷10，商都不是一个自然数。即：自然数除法不具有封闭性。

现在记为：若a∈N，b∈N，则a÷b∈N可能对，可能不对，在数学上就不对，结论就不成立。

这是与自然数乘法是封闭的结论是不同的，应引起我们的注意。

6.关于自然数及其运算小结

由前面我们知道，自然数中0与1是两个非常特殊的。

0＋0＝0-0＝0×0＝0。

0÷0无意义，m÷0无意义。

a＋0＝a-0＝a，

a×0＝0，

a-a＝0，

0÷m＝0（其中m≠0）。

0＝1-1，

1＝1＋0＝0＋1＝1×1＝1÷1，

a＝1＋1＋1＋1＋…＋1＝a个1的和（a为大于1的自然数）。

两个自然数a与a＋1之间无自然数，a＜a＋1。

a×1＝1×a＝a÷1＝a。

a÷a＝1（a≠0）。

自然数可以进行加、减、乘、除四则运算。它们各有实际意义，且在数学理论上是互相联系的，其中减、乘、除都直接或间接来自加法，可见自然数加法的基础性。

自然数减法是加法的逆运算。自然数除法是乘法的逆运算。自然数乘法是特殊形式加法后的简化形式。

自然数加法，乘法都具有封闭性，但自然数减法，除法不具备封闭性。

自然数四则混合运算中，先算括号里面的，后算括号外面的。无括号时，先算乘除，后算加减，一个无括号式中既有乘又有除时，按左先右后既先出现的先算。无括号只有加减的式中，先后计算顺序可随便，能算就行。

如：

3＋（6÷2x5-7）-5×10÷2÷5

＝3＋（3×5-7）-50÷2÷5

＝3＋（15-7）-25÷5

＝3＋8-5

＝11-5（或＝3＋3）

＝6。

当然，对含括号的自然数四则运算式子，可按去括号法则，先去括号再行计算，不过一定要注意，只用×和÷号连接的式子应看成一个数。

如45-（3 56÷7×2-10）＋3×（81÷27）

＝45-3-56÷7×2＋10＋3×3

＝45-8×2＋10＋9

＝45-16＋19

＝45＋3

＝48。

由于自然数加法与乘法，满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，我们可以运用来正确计算或算化计算，故要熟练掌握。

总之，自然数的知识来源于0、1及加法。抓住根本，可以从头到尾一推到底。

二、整数

1.负整数和整数的概念

有了自然数这个好基础，我们再从它出发，突破它的限制，获取新的数“负整数”，从而可以得到所有的整数。

在对自然数的学习中，我们知道自然数对减法不具备封备性。即一个自数减去一个自然数，可能等于一个自然数，也可能出现不够减的情况。这种现家在日常生活、生产中经常出现。如:

我有20个西瓜，卖出去了15个，还存有有几个西瓜？

答：20-15＝5（个）。

若我有20个西瓜，但某买家一下子要买25个，交易完成后，是个什么状况？

答：20-25＝欠买家5（个）。

一种情况是手中存有5个，一种情况是倒欠人家5个。

把两种情况综合起来看，若第一天存有5个，第二天欠人家5个，可以将第一天存的5个给人家，这样既不欠别人的，手中西瓜也卖完了，手中恰好有西瓜0个。

即：（存5）＋（欠5）＝0（个〉。

一家中，盘中有30颗葡萄，晚上2个家人每人吃10颗，还有多少颗？

答：30-20＝10（颗）即剩余10颗。

另一家中，盘中有30颗葡萄，晚上4个家人每人计划吃10颗，会出现什么情况？

答：30-40＝欠10（颗）即差10颗。

两个家庭综合起来看有：（余10）＋（欠10）＝0。

一个水库前天水位深32米，昨天放水，致水位一天降了2米，今天早晨开始下雨致水位一天涨了2米，问经过这两天水位有什么变化？

答：两天水位变化为（30-32）＋（32-30）＝（降2）＋（升2）＝0。

由上面例子，我们可以看出，世界上存在两个数值相等，但属性恰好相反的成对的量。

其实这样的成对的量是大量存在的。如：在银行存一万元与取一万元，做了1000套房子与卖了1000套房子，挖了18米深的坑与将坑填了18米厚的土石。举不胜举。

一般地，我们将数值相同，都为a，但属性相反的两个量叫做互为相反数。规定其中一个值为＋a，读作正a，称为正数，简记为a；另一个值则记为-a，读作负a，称为负数。

由前知所有的自然数，是零和正数。

由上知a＋（-a）＝0，我们称a与-a互为相反数。即一对相反数的和为0。如：

5与-5互为相反数，5＋（-5）＝0，

10与-10互为相反数，10＋（-10）＝0，

2与-2互为相反数，2＋（-2）＝0，

10000与-10000互为相反数，10000＋（-10000）＝0，

1000与-1000互为相反数，1000＋（-1000）＝0，

18与-18互为相反数，18＋（-18）＝0。

由上，可获得前述问题中下列意义和记法：

西瓜问题中20-15＝（存5）＝＋5＝5，而20-25＝（欠5）＝-5。

葡萄问题中30-20＝（余10）＝＋10＝10，30-40＝（欠10）＝-10。

水位问题中30-32＝（降2）＝-2，32-30＝（升2）＝＋2＝2。

存款问题中（存10000）＝＋10000＝10000＝取（-10000），取10000＝存（-10000）。

建房问题中（建1000）＝1000时，（卖1000）＝-1000。

挖坑中挖了18＝＋18，填18＝-18＝（挖-18）。

注意前面多一个负号，意义反一次，所以有：挖18米＝填（-18米），挖（-18米）＝填18米，挖（-（-18））米＝填（-18）米＝挖18米。

取10元＝存（-10）元，存10元＝取（-10）元，取（-（-10））元＝存（-10）元＝取10元。

即有-（-18）＝18，-（-10）＝10。

这就是∵18＋（-18）＝0，10＋（-10）＝0，

∴18与-18互为相反数，10与-10互为相反数，

∴（-18）＝-（18），18＝-（-18）。

（-10）＝-（10），-（-10）＝10。

一般地有-（-a）＝a。

由上可得：正数的相反数是负数，负数的相反数为正数，0的相反数为0。

一个数的相反数的相反数等于它本身。

要注意理解哟。

这样一来，原来有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…，999，1000，1001，…这些自然数，现在每个正数都生出了一个新数，就是它的相反数。所以出现了一系列新数：

-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，-9，-10，…，-999，-1000，-1001，…

这些数称为负整数，与原有的0和正整数一起，组成整数。

整数包括正整数，0，负整数三部分。整数有无数多个。

所有的整数组成的集合叫整数集，常记为Z。显然：

3∈Z，2∈Z，1∈Z，0∈Z，-1∈Z，-2∈Z，

-3∈Z，-4∈Z，-5∈Z，

-2345∈Z，-876054∈Z。

而因N表示自然数，

∴-4∈N，-5∈N，-2345∈N，-876054∈N都是不成立的。

你想想：欠别人的钱越多，自己的财富越少，水位下降的越大，水位就越低。

所以我们自然而然可以理解以下规定的合理性：

负整数＜0＜正整数，具体有：

…＜-20001＜-20000＜-19999＜-19888＜…＜-101＜-100＜-99＜-98＜…＜-5＜-4＜-3＜-2＜-1＜0＜1＜2＜…

由上述实际意义我们还较易理解下列式子：

-20001＋1＝-20000，

-20000＋1＝-19999，

-19999＋1＝-19998，

…

-5＋1＝-4，-4＋1＝-3，

-3＋1＝-2，-2＋1＝-1，

-1＋1＝0，0＋1＝1，

1＋1＝2，…

当然也有：

2-1=1，1-1=0，

0-1=-1，-1-1=-2，

-2-1=-3，-3-1=-4，

…，-999-1=-1000，

-1000-1=-1001，…

2.整数的加法

由于整数包括自然数和负整数，而自然数已有加法定义、加法性质及运算律，现在加进了负整数后，又如何相加？

这里面涉及负整数与负整数，负整数与自然数如何相加的问题，相加的含义是什么？

弄清相加含义和方法后，它们仍然满足自然数中加法性质和运算律吗？会不会出现哪些不同的？

先看负整数与负整数之间相加的含义：

我手中无钱，先欠你10元，又向你借了10元，问合起来我手中一共有多少钱？

显然：我手中无钱，并欠你20元。这可用数式记为（-10）＋（-10）＝-20。

由于连续干旱，农田用水增加，加上人蓄饮用水不停，供水水库这两天水位连续下降，昨天降了2米，今天又降了3米，问这两天水库水位一共升了多少米？

显然共降了5米，即上升了-5米。用数式写为：（-2）＋（-3）＝-5。

一般地，可得a，b是两个正整数时，（-a） （-b）=-（a＋b）。

这就是说，两个负整数相加，符号仍为负号，再把它们的相反数相加。

所以两个负整数之和仍是负整数，且这个负整数比两个加数均小。如（-2）＋（-3）＝-5中

-2＞-5，-3＞-5。

这就得到了两个负整数的和的含义及计算方法。

由于先欠你2元，后欠你3元，与先欠你3元，后欠你2元，实际结果都是欠你5元。用式子表示为：

（-2）＋（-3）＝（-3）＋（-2）＝-5。

由于水位先降8米，后降10米，与先降10米，后降8米，都是共降18米。用式子表示为：

（-8）＋（-10）＝（-10）＋（-8）＝-18。

一般地有：可得a，b是两个正整数时，

∵（-a） （-b）=-（a＋b），（-b） （-a）=-（b＋a）＝-（a＋b），

∴（-a） （-b）＝（-b） （-a）。

即两个负整数的和满足交换。

由于我若三次分别借了你5元，8元，13元，不管顺序如何，实际上都欠你26元。

用数式表示为：

（（-5） （-8））＋（-13）

＝（-5）＋（（-8） （-13））

＝-26

一般有：a，b，c是两个正整数时，

∵（（-a） （-b））＋（-c）

＝（-（a＋b））＋（-c）

＝-（a＋b＋c）

（-a） （（-b）＋（-c））

＝（-a）＋（-（b＋c））

＝-（a＋b＋c）

∴（（-a） （-b））＋（-c）

＝（-a） （（-b）＋（-c））

可见，负整数的加法仍然满足结合律。

还有负整数与自然数的加法呢？

先说负整数与0的加法吧。

第一次我没找你借钱，第二次我找你借了5元钱时，0＋（-5）＝-5。

第一次我找你借了5元钱，第二次我没找你钱时，（-5）＋0＝-5。

可见负整数与0的和仍然是这个负整数，且负整数与0的和与顺序无关，即仍然满足交换律。

可让负整数与0的和也满足结合律。请自证。

那负整数与正整数的和含义与计算方法又是怎么样的呢？

我买了3个面包，吃了2个，还有几个面包？

答：手中还有3＋（-2）＝＋（3-2）＝1个面包。

我买了2个面包，但吃3个才能吃饱，我要吃饱，应怎么办？

答：手中还有2＋（-3）＝-（3-2）＝-1个面包，即还需买一个面包才行。

我买了2个面包，现吃了2个，我手中有几个面包？

答：手中还有2＋（-2）＝＋（2-2）＝0个面包，即没有面包。

一般地有：

互为相反数的两数和为0，即a为正整数时，a＋（-a）＝0。

若负整数的相反数比正整数小，则它们的和为一个正数，只需要将正整数减去负整数的相反数。如：

（-350） 400

＝＋（400-350）

＝50。

若负整数的相反数比正整数大，则它们的和为一个负数，和值需先写一个负号，再写上用负整数的相反数减去正整数得到的差数。如：

（-400） 350

＝-（400-350）

＝-50。

用式子表示为：

设a，b是两个正整数，则：

当a＝b时，（-a）＋b＝0，

当a＜b时，（-a）＋b＝＋（b-a），

当a＞b时，（-a）＋b＝-（a-b）。

由上面定义知：

a，b是两个正整数，则：

当a＝b时，b＋（-a）＝0，

当a＜b时，b＋（-a）＝＋（b-a），

当a＞b时，b＋（-a）＝-（a-b）。

比较结论可知：a，b为正整数时，均有

（-a）＋b＝b＋（-a）

所以，正整数与负整数的和满足交换律。

由实际意义可知正、负整数的和满足交换律。如：

我前二次借了你50元和30元，第三次你在我手中拿了100元走，问我手中还有你多少钱？

答：（50 30）＋（-100）

＝-20。即你欠我20元。

如果是第一次我借了你50元，第二次你在我手中拿了100元走，第三次我借了你30元，问我手中还有你多少钱？

答：（（50＋（-100））＋30

＝（-50）＋30＝-20。

比较上两式所得结果发现是一样的，即：

（50 30）＋（-100）

＝（（50＋（-100））＋30。

可见含三个正、负整数的和，先加这两个，还是先加另两个，和不交。这就是加法的结合律。

一般情况，请自行分类讨论去证明。

到此为止，我们就知道了，自然数加了新的负整数，得到整数后，加法的含义是什么，加法是怎么做的，并知道了整数的加法仍然满足加法的交换律和结合律。

为了简便书写整数加法含义，我们引进绝对值概念，规定：一个正数与0的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数。并把数a的绝对值记为la丨。

这样有：a＞0时lal＝a，l0l＝0，a＜0时lal＝-a。

如l304l＝304，l-1l＝1，l-1l＝1，l-3l＝3，l-9l＝9，l-3809l＝3809。

可以看出，整数取绝对值的作用就是去掉负号，把整数转化为自然数。

由此我们知道lal≥0。

这样一来，我们就有：

已知整数a，b，

若a≥0，b≥0，a＋b按自然数加法进行。

若a≤0，b≤0，则a＋b＝-（lal＋lbⅠ）。

若a≥0，b≤0，则：

①当laⅠ＞lbⅠ时a＋b＝＋（laⅠ-lbⅠ），

②当laⅠ＜lbⅠ时a＋b＝-（lbⅠ-laⅠ）

③当laⅠ＝lbⅠ时a＋b＝0。

若a≥0，b≥0，a＋b按自然数加法进行。

这就是整数加法的定义及计算方法。可以看出，要分很多情况来讨论，才能得出和值。

由前讨论知：

若a，b，c∈Z，则有：

①a＋b＝b＋a（交换律）。

②（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）（结合律）。

运算律可以简化我们的计算。如：56 （-32） （-21） （-44）

＝56＋（-（32＋21＋44））

＝56＋（-97）

＝-（97-56）

＝-41。

或56 （-32） （-21） （-44）

＝（56 （-44）） （（-32） （-21））

＝12＋（-53）

＝-（53-12）

＝-41。

3.整数的减法

由前知：a＋b＝0时，a，b互为相反数。

自然数中减法是加法的逆运算。

所以两个整数的减法我们给出如下定义：

a-b＝＝a＋（-b）

即a减去b的差就是a与b的相反数的和。

如：5-4=5 （-4）=1，这与自然数减法是相符的。

3-5=3 （-5）

=-（5-3）=-2，

这就是我有3支笔，你要拿走5支，我手中还差2支。

3-（-55）=3 55=58，

这就是我有3个包子，去掉你从我这拿走的55个包子，也就是我有3个包子，你又还了我55个包子，我手中实有58个包子。

（-65）-（-43）

=（-65）＋43

＝-（65-43）

=-22。

这就是我欠你65元钱，去掉你从我欠你的43元，就是我还了你43元，当然实欠你22元了。

也就是说，整数的减法虽多出了自然数与自然相减时不够减的情况，多出了自然数减负整数的情况，多出了负整数减负整数的情况，但与自然数内部减法一样，不但统一了作减法的样式和步骤，也有相同实际意义。

对于整数计算式中去括号的问题，我们举例说明如下：

∵-22 （（-65）-（-43））

＝-22 （-（65-43））

=-22 （-22）

=-44，

-22 （-65）-（-43）

＝-87 43

=-（87-43）

=-44，

∴-22 （（-65）-（-43））

＝-22 （-65）-（-43）。

即括号前为＋号时，去掉括号后，括号内各数保持不变。

又∵-22-（（-65）-（-43））

＝-22-（-22）

=0，

-22-（-65）＋（-43）

＝-22 65 （-43）

＝43-43

=0，

∴-22-（（-65）-（-43））

＝-22-（-65）＋（-43）。

即括号前为-号时，去掉括号后，括号内各数均应改变符号，＋号变成-号，-号变成＋号。

一般地有：若整数加减式中含有括号，去每层括号时，仍遵循去括号法则：

a，b，c∈Z时，

a＋（b＋c）＝a＋b＋c，

a-（b＋c）＝a-b-c，

a-（b-c）＝a-b＋c，

a-（-b＋c）＝a＋b-c，

a-（-b-c）＝a＋b＋c。

由前面知识我们知道，任两个整数的差仍为整数，所以整数加法具有封闭班性。即：

a∈Z，b∈Z，则a-b∈Z成立。

这是与自然数减法的最大区别，是自然数引进了负整数后，将减法的不封闭变成了封闭。

可见，引进了负整数后，数的性质变得更完善、完备和完美。

整数减法还具有下列性质：

0-0＝0，

0-a＝0＋（-a）＝-a，

0-（-a）＝0＋a＝a，

a-0=a＋0＝a，

a-a＝0，（-a）-（-a）＝0，

lal＝I-aI，

若Ial＝5，则a＝±5。

…

问题：la＋bI＝？

la-bI＝？

4.整数的乘法（后续）