40.在△ABC中，两条高CD，BE交于点G，点F是BC的中点.

（1）求证：DF＝EF；

（2）探索∠BGC和∠DFE之间的关系；

（3）如果∠DFE＝60°，AB＝6，BC＝根号（31），求△ABC的面积.

关注“中考数学当百荟”，感谢您的支持！

39.（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90º，

∵△BMC沿MC折叠得到△NMC

∴∠MNC=∠MBC=90º，∠BMC=∠NMC

∵BE⊥CN

∴BE∥MN，

∴∠NMF=∠MFB

∴∠BMF=∠BFM

∴BM=BF

（2）∵∠BEC=90º，

∴∠AEB ∠CED=90º，

∵∠AEB ∠ABE=90º，

∴∠CED=∠ABE

又∵∠A=∠D=90º，

∴△ABE∽△DEC

∴AB：AE=DE：CD

∴设AE=x，则DE=25－x，

∴12：x=（25－x）：12，

解得x=9，x=16，

∵AE＜DE

∴AE=9，DE=16，

∴CE=20，BE=15，

由折叠得BM=MN，

∴BM=BF=MN，

∵BE∥MN，

∴△ECF∽△NCM

∴EF:MN=CE:CN

设BM=BF=MN=y，

∴(15－y)：y=20：25

∴y=25/3 则BM=25/3

在Rt△MBC中，

MC=25/3根号（10），

BC:MC=3/10根号（10）

（3）若BP=9，

连接NF，

∵∠NEF=∠BAE=90º，

∵BF∥MN，BF=MN

∴四边形BMNF是平行四边形

∵BM=BF,

∴平行四边形BMNF是菱形

∴BM∥NF，

∴∠NFE=∠ABE，

∴△NEF∽△EAB

∴EF:GF=AB:BE

∴BE·EF = AB·NF=12×9=108

∵∠FEC=∠MBC=90º，

∠EFC=∠MFB=∠BMF，

∴△EFC∽△BMC

∴EF:BM=CE:CB

又∵∠BEC=∠A=90º，

由AD∥BC得∠AEB=∠EBC，

∴△AEB∽△EBC

∴AB:BE=CE:CB

∴AE:BE=EF:BM

∴BE·EF= AE·BM=12×9=108

过点F作FH⊥BC，垂足为H

∵△AEB与四边形MFEN面积比

=BF：（EF MN）

=BF：BE，

∴BF：BE

=S△BFC: S△BEC

=（EF×BC）:（12BC）

=EF/12

∴ 9：BE=EF:12

∴ BE·EF=12×9=108.