例3．（2018秋•赣榆区期中）如图，线段AB上有C、D两点，AB＝6，AC＝BD＝1，点P是线段CD上的一个动点，分别以PA、PB为斜边在线段AB的同侧作等腰直角三角形MAP和等腰直角三角形NBP，连接MN，当点P从点C运动到点D的过程中，△PMN的外接圆圆心经过的路程是_______．

【分析】分别延长AM、BN交于点F，易证△MPN是直角三角形，即△PMN的外接圆圆心是MN的中点O，由于四边形MPNF为平行四边形，得出O为PF中点，设点P从距离A点1cm处C沿AB向右运动至距离B点1cm处N，则O的运行轨迹为△CDF的中位线GH．运用中位线的性质求出GH的长度即可．

【解答】如图，分别延长AM、BN交于点F．

∵△AMP和△PNB都是等腰直角三角形，且∠AMP＝∠BNP＝90°

∵∠A＝∠APM＝∠BPN＝∠B＝45°，

∴∠MPN＝90°，∴△MPN是直角三角形，

∴△PMN的外接圆的圆心是MN的中点O，

∵∠A＝∠BPN，∴AF∥PN，

同理，PM∥BN，∴四边形MPNF为平行四边形，∴PF与MN互相平分．

∵O为MN的中点，

∴O为PF中点，即在P的运动过程中，O始终为FP的中点，所以O的运行轨迹为三角形FCD的中位线G，．

∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝6﹣1﹣1＝4，

∴GH＝1/2CD＝2，即，△PMN的外接圆圆心经过的路程是2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定和性质，以及动点问题，是中考的热点，解题的关键是正确寻找点R的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．

类型2 路径为圆弧

例4.（2018秋•江都区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．当点P在半圆上从点B运动到点A时，内心M所经过的路径长为_______．

【分析】分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC内，先求出∠CMO＝135°，进而判断出点M的轨迹，再求出∠OO'C＝90°，最后用弧长公式即可得出结论．

【解答】∵△OPE的内心为M，∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，

∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣1/2（∠EOP ∠OPE），

∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，

∴∠PMO＝180°﹣1/2（∠EOP ∠OPE）＝180°﹣1/2（180°﹣90°）＝135°，

如图，∵OP＝OC，OM＝OM，而∠MOP＝∠MOC，

∴△OPM≌△OCM（SAS），∴∠CMO＝∠PMO＝135°，

所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（弧OMC和弧ONC）；点M在扇形BOC内时，过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，

在优弧CO取点D，连DA，DO，

∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，

∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，