容斥原理三个公式图（三个集合容斥问题公式）

三集合容斥问题是公考中的常客，主要通过公式法和画图法解决，而公式法是最常用的方法，可是好多考生公式记得特别溜，做题时却不知用哪个好。如何用1秒的时间快速准确挑选出公式呢？这是我们必须要具备的能力，今天我们一起来习得。

容斥原理三个公式图,三个集合容斥问题公式(1)

首先，何时能用公式解决三集合容斥问题？

题目中没有“只”，即题目中没有出现只满足一个条件的表述。

其次，三集合容斥常用的三个公式是什么？

（1）标准型：A B C-AB-AC-BC ABC=总-都不的

（2）拓展1：A B C-同时满足两项的-2ABC=总-都不的

（3）拓展2：A B C-满足两项以上的-ABC=总-都不的

再次，如何1秒挑选三集合容斥公式？

三个公式中，差别最明显的是关于两项的描述。若题目给出“满足AB、满足AC、满足BC”的排比式描述，应用标准型公式；若题目给出同时满足两项的描述，则用拓展1公式；若题目给出满足两项以上的描述，则用拓展2公式。其他的条件在选公式的时候，一点也没用，直接找题目中关于两项的描述即可，选公式1秒足已。

最后，如何快速解呢？大部分题目，尾数不同，用尾数法。

来来来，上菜了。

【例1】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有（）种。

A.14 B.15

C.18 D.17

【秒选公式】题目中出现“抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种”这种排比式的满足两项的描述，选标准型。

【答案】C

【解析】本题考查三集合容斥。设三种食品添加剂都不达标的有x种，代入三集合容斥原理标准公式可得：68 77 59-54-43-35 30=120-x，解得x=18（尾数为8）。故本题答案为C选项。

【例2】一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点？（）

A.29 B.31

C.35 D.37

【秒选公式】题目中告诉了好多条件，如何选择公式呢？题目中问“50位游客中有多少位恰好去了两个景点”，即同时满足两项的个数，选拓展1公式。

【答案】A

【解析】本题考查三集合容斥。设有x位游客恰好去了两个景点。由三集合容斥原理公式可得：35 32 27-x-2×8=50-1，尾数法可得x尾数为9。故本题答案为A选项。

【例3】某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果使用不止一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（）

A.148 B.248

C.350 D.500

【秒选公式】题目已知“如果使用不止一种上网方式的有352个客户”，等价于“使用2种及以上上网方式的有352个客户”，即满足两项以上的个数，选拓展2公式。

【答案】A

【解析】本题考查三集合容斥。设三种上网方式都使用的客户有x个，代入三集合容斥拓展2公式，1258 1852 932-352-x=3542，解得x=148。故本题答案为A选项。

相信大家已经学会了如何1秒选公式了，接下来，试试身手如何。