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导读

2018 年是一个“伤芯”之年，我们终于认识到，处于信息时代而不拥有芯片制造技术，是多么可怕。然而，芯片需要高质量的晶体，而高质量晶体的生长及其后的器件制备，是需要有懂晶体学的科学家和工程师的，这一点但愿我们将来也能认识到了。数学才是一个国家、一个民族的核心竞争力，我说的，我信。

作者：曹则贤 (中国科学院物理研究所)

摘要 晶体具有规则的外形，来自内部原子的规则排列。晶体具有最小的重复单元，是由最小重复单元在三维空间堆积起来的，即晶体具有平移对称性。对称性可以用群这个数学概念来表征。平移对称性限制了晶体重复单元只有n=1，2，3，4，6次转轴，因此晶体只有32种点群(单胞的对称性)。32种点群同三维空间中平移操作的组合，决定了晶体只有230种空间群。不管有多少种具体的晶体，按照对称性分类只有230种。二维情形下，n=1，2，3，4，6次转轴加上镜面反映只能得到10种点群；10种点群与二维空间中的平移操作组合，只能得到17种二维空间群。远在人类有群论知识之前，许多文明都认识到了二维晶体只有17种对称性，反映在二维装饰图案比如窗棂的设计上。

1 晶体

大自然中存在许多固体，其中一些固体具有规则、美观的外形，比如见于火山口的金刚石、水晶和硫磺等，它们被称为晶体。晶体具有规则的外形，如果仔细观察，会发现其小面之间成恒定的夹角，与晶体大小无关(图1)。打碎的晶体小块中能看到许多相似的形状，这让人们猜测晶体具有一个最小的几何单元，称为单胞(unit cell)，晶体是单胞在三维空间中堆砌而成的，类似纸箱子堆满仓库。平行六面体(特例为正方体)，开尔文爵士的截角八面体，都能充满整个空间(图2)。由此而来的一个认识是，晶体具有平移对称性，平移对称性又决定了晶体中允许存在的转动只有n=1，2，3，4，6 次转动这五种可能，这被称为晶体学限制定理。作为数学的表现是，描述晶体转动的矩阵的迹(trace of matrix)，必为整数。这个晶体学限制定理，还有个简单证明。考虑到晶体是原子层堆垛而成，故而只需考虑一个平面上的排列方式所允许的转动。平面有两个独立方向，这注定了平行四边形是平面上的单胞。画两组成一定夹角的线簇，可看到是平行四边形的单胞铺满整个平面。任意改变平行四边形的边长比和夹角，可看出这个平面铺排的花样会出现哪些转动对称性。任意的边长比和夹角，没有转动对称性，或者只有n=1 次的转轴；夹角90°，边长不等，对应n=2次的转轴；夹角90°，边长相等，对应n=4 次的转轴；夹角60°，边长相等，对应n=3(6)次的转轴。

图1 天然晶体：金刚石、水晶和硫磺

图2 正方体和截角八面体都能充满整个空间

平移对称性决定了晶体中只有n=1，2，3，4，6 次这五种转动，这限制了晶体单胞所能具有的对称性(点群)，也就限制了单胞对称性与平移对称性的组合(空间群)。实际的三维晶体只有32 种点群，230种空间群。为了理解的方便，本篇多借助二维情形展开相关讨论，二维晶体只有10 种点群，17 种空间群。二维的空间群又叫墙纸群(wallpaper group)，亲切吧！

2 对称性与群

对称性操作可用群的概念描述。群的概念是研究几何和代数方程解的时候提出来的。若一组操作(operation，动作) 满足如下四个条件：

(1)有一个单元操作I (操作以后对象不变，或者是啥也没干)；

(2)两个操作接连完成的效果等于这个集合里某个单一操作的效果(用群论语言， G×G∈G )；

(3)操作满足结合律(用群论语言， gi(gjgk) =(gigj)gk )；

(4)每一个操作都有逆操作(用群论语言，总存在gj = gi-1 ， gigj =gjgi = I )。

这一组动作就构成一个群(group)。其实，群就是一种特殊的集合，其元素间定义了满足结合律的乘法，且按照这个乘法每一个元素还都有逆。对称性操作就满足群的定义。注意，一个群元素可以表示为一个数学对象，比如矩阵，因此群是物理学研究的重要工具。

举例来说，图3 左图为鸡蛋花，五瓣，绕中心轴转2π/5 看不出曾有过转动。我们说(理想的)鸡蛋花具有C5 对称性，其对称群为C5 群。关于鸡蛋花的对称操作有转动0， 2π/5， 4π/5，6π/5 和8π/5 角这五种可能，可以验证它们满足群的定义。又比如图3右图中的三叶草，它的对称性和正三角形是一样，绕中心轴转2π/3 角相对于过顶点的中线作镜面反映(σ-操作)，都看不出变化。(理想的)三叶草具有D3 对称性，其对称群为D3群。关于三叶草的对称操作有转动0，2π/3，4π/3 角和镜面反映σ1，σ2，σ3 这六种可能，可以验证它们满足群的定义。