三阶正方体魔方具有 2 阶、 3 阶、 4 阶对称轴,这样的对称 性是除了球体以外的其他物体所不能比拟的[1]。魔方的还原过 程就在于旋转中魔方色块位置的交换,对于魔方每层每次的旋 转都是绕着该层中心块的变换,这样的保持点间距离不变的空
三 魔方群
魔方的转动是指将魔方某个面上的所有块顺时针(面对该面)旋转 90°。相应的,若是逆时针旋转则称为逆转动。为了记录下转乱、复原的过程,习惯上采用由 David Singmaster 发明的符号来书写。以英文 Up(上)、Down(下)、Front (前)、Back(后)、Left(左)、Right(右)的第一个字母分别表示魔 方的上、下、前、后、左、右六个面的转动;用小写字母 u、 d、 f、 b、 l、 r 表示各面及相应的中心块;用 xy 来表示位于 x 面 y 位置的 棱块小面,如 uf 表示 u(上)面 f(前)位置的小面;用 xyz 表示位 于 x 面 yz 位置的角块小面,如 ufr 表示位于示 u(上)面 fr(前 右)位置的小面。
在对魔方任意一个面进行转动的时候,该面所在层的中心 块不会改变,其余 20 个小面的位置随之发生改变,这样的转动 可以用一系列小面的置换来表示:U=(ulb ubr urf ufl )(ub ur uf ul)(bul rub fur luf)(bu ru fu lu)(bru rfu flu lbu) D=(dbl dlf dfr drb)(db dl df dr)(bld lfd frd rbd)(bd ld fd rd)(bdr ldb fdl rdf) F=(flu fur frd fdl)(fu fr fd fl)(ufl rfu dfr lfd)(uf rf df lf )(urf rdf dlf luf) B=(bul bld bdr bru)(bu bl bd br)(ulb ldb drb rub)(ub lb db rb)(ubr lbu dbl rbd) L=(luf lfd ldb lbu)(lu lf ld lb)(ufl fdl dbl bul)(ul fl dl bl)(ulb flu dlf bld) R=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf)(urf bru drb frd)(ur br dr fr)(ubr bdr dfr fur)
设 G= U, D, F, B, L, R 是魔方所有转动生成的集合,可以 证明该集合以合成作为运算构成一个群,称为魔方群。它是上 述一系列小面的置换作为生成元的一个循环群。G 中的元素代表了所有置换的情形,魔方变换的所有状态 都能够找到与之相应的元素,魔方从还原状态经过一系列变化 再次还原,实现了一次循环,实际也是 G 中的元素经过周期性 的操作能够实现的,从中可以看到魔方还原与循环群的共性。