一、不等式的基本性质

①a≥b且b≥c⇒a≥c(不等式的传递性)

证明如下：

因为a≥b，b≥c，

所以a-b≥0，b-c≥0，

所以a-c=(a-b) (b-c)≥0。

②a≥b⇔a±c≥b±c(不等式的加法性质: 不等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。)

③（1）a≥b且c＞0⇒ac≥bc；

（2）a≥b且c＜0⇒ac≥bc

（不等式的乘法性质：（1）不等式的左右两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的左右两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。）

④a≥b且c≥d⇒a c≥b d。

证明如下：

因为a≥b，c≥d，

所以a-b≥0，c-d≥0，

所以（a-b） （c-d）≥0，a c≥b d。

⑤a≥b＞0且c≥d＞0⇒ac≥bd

证明如下：

因为a≥b＞0，c≥d＞0，

所以ac≥bc，bc≥bd（不等式的乘法性质）

所以ac≥bd（不等式的传递性）

⑥a≥b＞0⇒a^n≥b^n（n∈R）

⑦a≥b＞0⇒a^（1/n）≥b^（1/n）（n≠0）

二、区间

1、概念：由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间，其中，这两个点叫做区间端点。

2、开区间和闭区间

（1）开区间:不含端点的区间

例如：集合{x|0＜x＜1}用表示的区间为（0，1）等等。

（2）闭区间:含有两个端点的区间

例如: 集合{x|0≤x≤1}用表示的区间为[0，1]等等。

3、左半开区间和右半开区间

（1）左半开区间：只含右端点的区间

例如：集合{x|0＜x≤1}用表示的区间为（0，1]等等。

（2）右半开区间：只含左端点的区间

例如：集合{x|0≤x＜1}用表示的区间为[0，1）等等。

4、有限区间和无限区间

（1）有限区间：开区间、闭区间、左半开区间和右半开区间。

（2）无限区间：只含有一个端点并且另一个端点不确定。

实数集合R用区间表示为（-∞， ∞）。

例如：①集合{x|x≥1}用区间表示为[1， ∞）②集合{x|≤-1}用区间表示为（-∞，-1] 等等。

三、绝对值不等式

1、解不等式|x|≤a或|x|≥a

（1）①当a=0时，x的解集为{x|x=0}；②当a＞0时，x的解集为[-a，a]；③当a＜0，x的解集为∅。

（2）①当a=0时，x的解集为R；②当a＞0时，x的解集为（-∞，-a]∪[a, ∞）；③当a＜0时，x的解集为R。

2、解不等式|ax b|≤c或|ax b|≥c(a≠0)

（1）①当c=0时，x的解集为{x|x=-b/a且a≠0}；②当c＞0时，x的解集为[-c-b/a，c-b/a](a≠0)；③当c＜0，x的解集为∅。

（2）①当c=0时，x的解集为R；②当c＞0时，x的解集为[c-b/a， ∞）∪（-∞，-c-b/a] (a≠0)；③当c＜0，x的解集为R。

3、通用公式：

①||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|

②|a b|≤|a| |b|（当且仅当ab≥0时，等号成立）

③|a-c|≤|a-b| |b-c|【当且仅当（a-b）（b-c）≥0时，等号成立】

四、基本不等式

1、（平方和）①当a、b∈R时，a^2 b^2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）

②当a、b∈R 时，（a b）/2≥√ab（当且仅当a=b时，等号成立），√ab为几何平均数，（a b）/2为正数a、b的算术平均数。

2、（立方和）①当a、b、c≥0时，a^3 b^3 c^3≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）

证明如下：【要证a^3 b^3 c^3≥3abc，也就是a^3 b^3 c^3-3abc≥0】

a^3 b^3 c^3-3abc=(a b c)^3-3ab(a b)-

3abc=(a b c)[(a b)^2 c^2-ac-bc-3ab]=1/2(a b c)[2a^2 2b^2 2c^2-2ac-2bc-2ab]= 1/2(a b c)[(a-b)^2 (b-c)^2 (a-c)^2]

因为a、b、c≥0，

所以a b c≥0，

(a-b)^2 (b-c)^2 (a-c)^2≥0，

所以a^3 b^3 c^3-3abc≥0，即：a^3 b^3 c^3≥3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立。

②当a、b、c≥0时，（a b c）/3≥（abc）^1/3（当且仅当a=b=c时，等号成立）。

证明如下：【可以根据当a、b、c≥0时，a^3 b^3 c^3≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）】

设a^3=x，b^3=y，c^3=z（x、y、z≥0）。

所以x y z≥3·∛x·∛y·∛z= 3·∛xyz，当且仅当x=y=z时，等号成立（x、y、z≥0），

同理：当a、b、c≥0时，（a b c）/3≥∛（abc），当且仅当a=b=c时，等号成立。

推广：当a₁、a₂、· ········ ·· 、an∈R 时，（a₁ a₂ · ········ ·· an）/n≥（a₁ a₂ · ········ ·· an）^1/n，当且仅当a₁=a₂=· ········ ·· =an时，等号成立。（n∈Z ）【证明略】

五、柯西不等式

当a、b、c、d∈R，（a^2 b^2）（c^2 d^2）≥（ac bd）^2（当且仅当ad=bc时，等号成立）

证明如下：【要证（a^2 b^2）（c^2 d^2）≥（ac bd）^2，也就是（a^2 b^2）（c^2 d^2）-（ac bd）^2≥0】

（a^2 b^2）（c^2 d^2）-（ac bd）^2=a^2d^2 b^2c^2-2abcd=（ad-bc）^2

因为（ad-bc）^2≥0，

所以（a^2 b^2）（c^2 d^2）-（ac bd）^2≥0，即：（a^2 b^2）（c^2 d^2）≥（ac bd）^2，当且仅当ad=bc时，等号成立。

推广：当a₁、a₂、· ········ ·· 、an、b₁、b₂、· ········ ·· 、bn∈R，（a₁^2 a₂^2 · ········ ·· an^2）（b₁^2 b₂^2 · ········ ·· bn^2）（a₁b₁ a₂b₂ · ········ ·· anbn）^2，当且仅当bn=0或者a₁/b₁=a₂/b₂=· ········ ·· =an/bn(bn≠0)时，等号成立。（n∈Z ）【证明略】

六、权方和不等式

当b₁、b₂、a₁、a₂＞0，a₁^2/b₁ a₂^2/b₂≥（a₁ a₂）^2/（b₁ b₂），当且仅当a₁/b₁=a₂/b₂时，等号成立。

证明如下:【要证a₁^2/b₁ a₂^2/b₂≥（a₁ a₂）^2/（b₁ b₂），也就是（a₁^2/b₁ a₂^2/b₂）（b₁ b₂）-（a₁ a₂）^2≥0】

（a₁^2/b₁ a₂^2/b₂）（b₁ b₂）-（a₁ a₂）^2=a₁^2 a₂^2 a₁^2 b₂/ b₁ a₂^2 b₁/ b₂≥（a₁ a₂）^2[利用基本不等式]，当且仅当a₁/b₁=a₂/b₂时，等号成立。

推广：a₁^(m 1)/b₁^m ··· an^(m 1)/bn^m≥（a₁ ··· an）^(m 1)/(b₁ ··· bn)^m，当且仅当a₁/b₁=a₂/b₂=··· =an/bn(bn≠0)时，等号成立。（n∈Z ）【证明略】

数学是需要不断计算、推导、检验的