(2)

Det(A)表示矩阵A的行列式，П表示连乘，sgn表示符号，在某些情况下是正的，另外一些情况下是负的。Sn表示n个元素的置换群，也就是将1、2、3…n这些元素进行全排列。公式大体意思是:将一些元素ai，σ(i)连乘，更换顺序后再连乘...然后再把它们做加法或者减法，就可以得到行列式。

行列式有很大的用处，而且，行列式有很多很好的性质，使得它可以找到更好的算法，降低计算复杂度。根据数学家们的计算，n阶行列式计算复杂度为O((log2)^n)级别，也就是：

计算1万亿阶的矩阵的行列式，计算复杂度也在100多步骤。行列式真是个物美价廉的好东西。

不过，行列式的亲兄弟——积和式就不这么友善了。它和行列式长得很像，只是行列式有加也有减，积和式全都是加。

例如：二阶积和式

N阶积和式

(3)

对比行列式的表达式（2），我们会发现它们都是对角标轮换后相乘再相加。只不过行列式有一个符号函数，有时取正有时取负，而积和式把所有的负号都去掉，变成了完全相加。

尽管只有这么一点点差别，但是积和式却没有行列式那么好的性质，计算复杂度非常高。按照目前最优的算法，n阶积和式的计算复杂度是O(nx2n), 随着n的增大，复杂度指数级上升。